第一个问题：为什么要乘共轭而非直接用∞/∞？ #

咱们先理清楚核心逻辑：当计算$\lim _{x \rightarrow \infty} \left(x-\sqrt{x^2+5 x}\right)$时，这是∞-∞型的未定式——直接代入x→∞的话，x趋向于无穷大，$\sqrt{x^2+5x}$也趋向于无穷大，两个无穷大相减的结果是不确定的（可能是有限值、无穷大或者其他），所以不能直接计算。

那为什么要乘它的共轭呢？其实咱们乘的不是$\frac{\infty}{\infty}$，而是$\frac{x+\sqrt{x^{2+5x}}{x+\sqrt{x}2+5x}}$——这本质就是1呀！因为分子分母完全相同，乘1不会改变原式的极限值，这是代数恒等变形的技巧，目的是把∞-∞的未定式转化成我们能处理的形式：
$$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(x-\sqrt{x^2+5 x}\right)\left(x+\sqrt{x^2+5 x}\right)}{x+\sqrt{x^2+5 x}}$$
用平方差公式展开分子后，就能把原来的减法转化为多项式的运算，从而消除未定式的问题，这才是这个操作的核心目的，可不是随便乘∞/∞哦～

第二个问题：步骤中$x^2 - x^2$为什么能抵消，不是∞-∞吗？ #

你这个疑问抓得很准，这里要区分代数恒等变形和直接取极限运算的顺序：

在第二步里，我们是先对分子做代数展开：
$$x^2 - (x^2 + 5x) = x^2 - x^2 -5x = -5x$$
这个变形是对任意有定义的x都成立的恒等式，不管x是不是趋向于∞，只要原式有意义，这个式子就等于-5x。我们是先完成这个代数化简，再对化简后的式子$\frac{-5x}{x+\sqrt{x^{2+5x}}$取极限，而不是先分别对$x}2$和$x^2+5x$取极限再相减（那样才会出现∞-∞的未定式）。

换句话说，我们没有先算$\lim_{x→∞}x^2 - \lim_{x→∞}(x^{2+5x)$，而是先把分子的代数表达式整理成最简形式，再求整个分式的极限，这完全是合法的操作，所以这里的$x}2 - x^2$可以直接抵消，得到-5x，之后再处理极限就简单啦。

最后把完整的计算过程再梳理一遍：
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(x-\sqrt{x^2+5 x}\right)\left(x+\sqrt{x^2+5 x}\right)}{x+\sqrt{x^2+5 x}} \
& =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2-\left(x2+5 x\right)}{x+|x| \sqrt{1+\frac{5}{x}}} \
& =\lim {x \rightarrow \infty} \frac{-5 x}{x\left(1+\sqrt{1+\frac{5}{x}}\right)} \quad \text{（x→∞时|x|=x，提取公因子x）} \
& =\frac{-5}{\lim{x→∞}(1+\sqrt{1+\frac{5}{x}})} \quad \text{（约去x后再取极限）} \
& =\frac{-5}{1+\sqrt{1}} = -\frac{5}{2}
\end{aligned}
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者1_student