问题背景 #

你想给宠物兔子做一个围栏，靠墙围一个长方形区域，只需要围3边。你有170英尺的围栏材料，想要最大化围栏的面积。

具体问题 #

a. 写出表示长方形围栏面积的二次函数（标准形式），其中x是宽度。
b. 什么尺寸能最大化围栏的面积？
c. 围栏的最大面积是多少？

注：我知道这个问题可以用微积分解决，但我在上代数课，请避免使用微积分。

提问者尝试 #

我对这个问题很迷茫。我最好的猜测是面积=(170/3)²=28900/9，因为在周长相等的四边形中正方形的面积最大，但我真的不知道怎么解这个问题。

提前感谢！

代数解法详解 #

别担心，咱们用代数里的二次函数顶点知识就能搞定这个问题，完全不用微积分！

第一步：定义变量，建立围栏长度关系 #

首先明确：因为是靠墙围3边，假设x是垂直于墙的那两边的宽度（也就是左右两侧的围栏长度），平行于墙的那一边长度咱们记作y。

总围栏长度是170英尺，所以可得等式：
2x + y = 170
把y用x表示出来：y = 170 - 2x

第二步：写出面积的二次函数（问题a） #

长方形面积A=长×宽，代入上面的y表达式：

A = x*(170 - 2x)
= 170x - 2x²

整理成二次函数标准形式（ax² + bx + c）：
A(x) = -2x² + 170x
这里a=-2，b=170，c=0。因为a是负数，这个二次函数的图像是开口向下的抛物线，顶点就是它的最大值点，这正是我们要找的最优解位置！

第三步：找最大化面积的尺寸（问题b） #

对于二次函数ax² + bx + c，顶点的x坐标公式是-b/(2a)，代入数值计算：

x = -170/(2*(-2)) = 42.5

也就是垂直于墙的宽度是42.5英尺。再代入y的表达式算出平行于墙的长度：
y = 170 - 2*42.5 = 85
所以最大化面积的尺寸是：垂直于墙的两边各42.5英尺，平行于墙的一边是85英尺。

这里要提一句：你之前猜的正方形不适用哦，因为咱们只有3边需要围栏，不是完整的4边，所以最优形状不是正方形~

第四步：计算最大面积（问题c） #

把x=42.5代入面积公式：

A = 42.5 * 85 = 3612.5

或者用顶点的面积公式(4ac - b²)/(4a)计算也能得到相同结果：

A = (4*(-2)*0 - 170²)/(4*(-2)) = 3612.5

所以最大面积是3612.5平方英尺。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Capt