嘿，我来帮你理顺这个问题！首先得明确椭圆曲线里$2P=\infty$的核心含义——这等价于$P$是2阶挠点，也就是$P$加上自身等于无穷远点，换个直白的说法就是$P = -P$（因为任何点加上它的逆元结果都是无穷远点）。

椭圆曲线上点$(x,y)$的逆元是$(x,-y)$，所以$P=-P$的条件就是$y = -y$，也就是$y=0$。这才是解题的关键，不用纠结复杂的加倍坐标公式（你写的公式是对的，但这种场景下从挠点定义出发会简单太多）。

接下来我们只需要找曲线$C$上$y=0$的有理点，也就是解方程：
$$x^3 + 2x = 0$$
因式分解后得到：
$$x(x^2 + 2) = 0$$
这里有理根只有$x=0$（因为$x^2+2=0$没有实根，自然也不存在有理根），所以对应的点就是$(0,0)$。

我们再用你提到的加倍公式验证一下：对于$P=(0,0)$，代入$x' = \left(\frac{3x^2 + 2}{2y}\right)^2 - 2x$，此时分母$2y=0$，说明这个点处的切线垂直于x轴，按照椭圆曲线的加法规则，这种情况下点加倍的结果就是无穷远点，完全符合要求。

总结一下，满足条件的有理点只有$P=(0,0)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user123234