嘿，你的理解大方向完全没问题，咱们掰开揉碎了说清楚：

• 先给你拍板：你对$e^{x$和$\ln(x)$的核心认知是对的——$e}x$描述初始值（默认是1）经过时间$x$后的100%连续复利增长结果，$\ln(x)$则是从1增长到$x$所需的连续复利时间，这俩确实是一对逆操作。

• 关于时间$x$的单位，核心逻辑是你自己定义的“增长基准周期”：
  这里的100%连续复利，本质是指「单位时间内的瞬时增长率为1（即100%）」。而这个“单位时间”，完全由你建模的场景决定：

  • 比如你在模拟一个细菌种群，观察到它每20分钟就能以100%的瞬时速率连续增长，那你可以把20分钟设为1个时间单位，$x$就是多少个20分钟；
  • 要是你在算极端情况的银行账户，假设年利率是100%的连续复利，那单位时间就是1年，$x$就是年数；
  • 简单说：你先把“让事物完成100%连续复利增长的那个时间长度”设为1个单位，$x$就是这个基准长度的倍数，它的单位自然就和你设定的基准周期一致。

• 再补个实际建模的小延伸：现实里我们很少用100%的增长率，一般是$e^{{rt}$的形式（r是实际瞬时增长率，比如5%就是r=0.05），这时候t的单位要和r的时间维度对应（r是年增长率，t就是年）。而你说的$e}x$其实是r=1时的简化版，x=rt，所以x的单位就和“增长率×时间”对应，但当r=1（100%/单位时间），x就直接是时间，单位就是你设定的那个基准周期。

你的最后那个猜想完全正确：时间$x$的单位，就是你所建模的现象中，实现100%连续复利增长对应的时间长度。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PassageTime