我来帮你把这几步拆解清楚，其实每一步都有明确的依据，咱们慢慢来捋：

第一步：从原PDE到第一个等式 #

首先看最左边的等式：
$$\int \int_D f \phi \ dx = - \int \int_D \Delta u \phi$$
这一步完全来自题目给出的PDE原方程：$-\Delta u(x) = f(x)$，也就是$f(x)$和$-\Delta u(x)$在区域$D$内是处处相等的。那我们把等式两边同时乘以一个试探函数$\phi$（变分法里的核心函数，通常属于满足齐次Dirichlet边界条件的$H^1(D)$空间），然后在区域$D$上做二重积分，自然就得到这个等式了——本质就是把原方程“积分化”的第一步。

第二步：格林第一公式的应用（关键一步） #

接下来是第二个等式：
$$- \int \int_D \Delta u \phi = -\int_{\partial D} \phi \partial_{\nu} u \ dS + \int \int_D \nabla u \cdot \nabla \phi \ dx$$
这一步用到的是格林第一恒等式，其实它是散度定理的直接推论。我们先回忆散度定理：对于光滑向量场$\boldsymbol{F}$，有
$$\int_D \nabla \cdot \boldsymbol{F} \ dx = \int_{\partial D} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{\nu} \ dS$$
这里我们取向量场$\boldsymbol{F} = \phi \nabla u$，那它的散度展开后是：
$$\nabla \cdot (\phi \nabla u) = \phi \Delta u + \nabla \phi \cdot \nabla u$$
把这个代入散度定理，就得到：
$$\int_D (\phi \Delta u + \nabla \phi \cdot \nabla u) dx = \int_{\partial D} \phi \nabla u \cdot \boldsymbol{\nu} \ dS$$
而$\nabla u \cdot \boldsymbol{\nu}$就是题目里的法向导数$\partial_\nu u$，所以右边可以写成$\int_{\partial D} \phi \partial_\nu u \ dS$。接下来我们把左边的积分拆成两项，然后移项整理：
$$\int_D \phi \Delta u dx = \int_{\partial D} \phi \partial_\nu u \ dS - \int_D \nabla u \cdot \nabla \phi dx$$
最后给这个等式两边同时乘以$-1$，就得到了你看到的第二个等式。

结合边界条件的后续简化（补充说明） #

虽然你现在的疑问是这两步推导，但可以顺便提一句：后面变分形式的简化会用到题目里的边界条件——在$\Gamma_N$上$\partial_\nu u=0$，所以这部分边界积分直接消失；在$\Gamma_D$上$u=0$，我们通常要求试探函数$\phi$也满足$\phi=0$（齐次Dirichlet边界条件），所以$\Gamma_D$上的积分也会消失，最终就得到了这个混合边值问题的变分形式：找到$u \in H^1_D(D)$（满足$u=0$在$\Gamma_D$上的函数空间），使得对所有$\phi \in H^1_D(D)$，有
$$\int_D \nabla u \cdot \nabla \phi dx = \int_D f \phi dx$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者uoiu