嘿，我来帮你把这个推导补全！你已经找对了方向——用反证法假设存在两个解的思路完全没问题，接下来结合罗尔定理找矛盾就好啦：

1. 先回顾罗尔定理的核心结论：如果函数$f(x)$在闭区间$[x_1,x_2]$（这里$x_1,x_2 \in [-1,1]$且$x_1 < x_2$）上连续，开区间$(x_1,x_2)$内可导，且$f(x_1)=f(x_2)=0$，那么一定存在至少一个点$c \in (x_1,x_2)$，使得$f'(c)=0$。

2. 再看你算出的导数$f'(x)=3x^2-3$，我们可以把它因式分解一下：f'(x) = 3(x² - 1) = 3(x-1)(x+1)。现在分析这个导数在$(-1,1)$内的取值：

   • 当$x \in (-1,1)$时，$x² < 1$，所以$x² - 1 < 0$，进而$f'(x) = 3(x² - 1) < 0$。
   • 也就是说，在开区间$(-1,1)$里，导数恒小于0，根本不存在任何点$c$能满足$f'(c)=0$。

3. 这就和罗尔定理的结论产生了矛盾！这说明我们最开始的假设——“方程有两个不同的解$x_1,x_2 \in [-1,1]$”是不成立的。因此原方程在$[-1,1]$上的解肯定不超过一个。

额外补充一句：其实从导数恒负还能看出，$f(x)$在$[-1,1]$上是严格单调递减的，严格单调的函数最多只能有一个零点，这也能辅助验证我们的结论，但核心逻辑还是通过罗尔定理的反证法找到矛盾。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Michele Assirelli