问题描述 #

Q: What is the probability that a positive integer not exceeding 100 selected at random is divisible by $5$ or $7$?

我的计算过程与困惑 #

我自己的计算步骤：

1. 从1到100中选一个能被5整除的数，概率是$\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$
2. 从1到100中选一个能被7整除的数，概率是$\frac{7}{100} = \frac{1}{14}$（去掉小数）
3. 然后要去掉重复的35和70这两个数，对应的概率是$\frac{1}{50}$
4. 最后算出来是$\frac{1}{20} + \frac{1}{14} - \frac{1}{50} = \frac{71}{700}$
   但书本的答案是$\frac{8}{25}$，我哪里错了？

错误分析与正确解法 #

你的核心问题是搞反了“符合条件的数的个数”和“除数”的关系，不是用除数直接除以100，而是要先算出1-100里满足条件的数的总数量，再除以100得到概率。我们一步步纠正：

• 步骤1：计算能被5整除的数的个数
  用整数除法计算：100 // 5 = 20（也就是5、10、15……100，共20个数），对应的概率是$\frac{20}{100}$，你之前写成$\frac{5}{100}$完全搞反啦！

• 步骤2：计算能被7整除的数的个数
  同样用整数除法：100 // 7 = 14（7*14=98，是100以内最大的7的倍数，共14个数），对应的概率是$\frac{14}{100}$，不是$\frac{7}{100}$哦。

• 步骤3：计算同时被5和7整除的数的个数
  这一步你是对的！5和7互质，公倍数是35，100 // 35 = 2（35和70两个数），对应的概率是$\frac{2}{100} = \frac{1}{50}$。

最后用容斥原理计算总个数：$20 + 14 - 2 = 32$，对应的概率就是$\frac{32}{100} = \frac{8}{25}$，和书本的答案一致啦！

简单来说，你最初的错误是把“除数”当成了“符合条件的数的个数”，搞反了两者的关系，调整过来就没问题了~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Funlamb