嗨，你的思路方向是对的，不过确实不用复杂积分，利用正态分布的对称性和简单的概率公式就能快速算出结果，我给你梳理下最简便的两种方法：

方法一：对称性+容斥原理 #

因为X和Y是独立同分布的标准正态变量，我们可以借助事件的对称性来推导：

• 记事件A为「X>0 且 X+Y>0」，事件B为「Y>0 且 X+Y>0」。
• 由于X和Y同分布，$P(A)=P(B)$。
• A和B的并集就是「X+Y>0」（只要X+Y>0，要么X>0，要么Y>0，必然满足A或B），而$X+Y\sim N(0,2)$，所以$P(A∪B)=P(X+Y>0)=\frac{1}{2}$。
• A和B的交集是「X>0 且 Y>0」，两个独立标准正态变量都大于0的概率是$0.5×0.5=\frac{1}{4}$。

根据容斥原理：
$$P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B)$$
代入已知等式：
$$2P(A) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
直接得到：
$$P(A) = \frac{3}{8}$$

方法二：二维平面几何+旋转对称性 #

$(X,Y)$服从二维标准正态分布，联合概率密度具有旋转对称性（极坐标下密度只和半径r有关，和角度θ无关）。我们把事件转化为平面区域：

• 「X>0」对应平面右半部分，「X+Y>0」对应直线$y=-x$上方的区域。
• 两者的交集是右半平面中$y>-x$的部分，在极坐标下对应的角度范围是$(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$，角度跨度为$\frac{3\pi}{4}$。
• 整个平面的角度范围是$2\pi$，由于旋转对称性，概率和角度跨度成正比，因此：
  $$P(A) = \frac{\frac{3\pi}{4}}{2\pi} = \frac{3}{8}$$

这两种方法都绕开了复杂的积分计算，完全依靠正态分布的特性和基础概率公式就能搞定，是不是轻松很多？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Félix Rodríguez