嘿，我来帮你搞定这个极限问题！首先看你给出的这个式子：
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum{k=1}^n \frac{\sqrt[k]{k}}{\sqrt{n+1-k}}
$$
你说分子的$\sqrt[k]{k}$不好处理，确实这个项看起来有点棘手，但我们可以从它的极限行为入手拆解问题。

第一步：拆分原式，分离难处理项 #

首先注意到，当$k \to \infty$时，$\sqrt[k]{k}=e^{\frac{\ln k}{k}}$，而$\frac{\ln k}{k}$会趋向于0（用洛必达法则就能验证$\lim_{x \to \infty}\frac{\ln x}{x}=0$），所以$\sqrt[k]{k}$其实是趋近于1的，而且和1的差距非常小。我们可以把原式拆成两部分：
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum{k=1}^n \frac{\sqrt[k]{k}}{\sqrt{n+1-k}} = \lim {n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} \sum{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n+1-k}} + \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt[k]{k}-1}{\sqrt{n+1-k}} \right)
$$

第二步：计算第一部分的极限 #

对第一部分做变量替换，令$m = n+1 -k$，当$k$从1取到$n$时，$m$会从$n$取到1，求和顺序不影响结果，所以第一部分转化为：
$$
\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{m=1}^n \frac{1}{\sqrt{m}}
$$
我们用积分来近似这个求和式：根据欧拉-麦克劳林公式，$\sum_{m=1}^n \frac{1}{\sqrt{m}} \approx \int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}}dx + \frac{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}{2}$，计算积分得$\int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2\sqrt{n} - 2$。当$n \to \infty$时，$\sum_{m=1}^n \frac{1}{\sqrt{m}}$的主导项是$2\sqrt{n}$，因此第一部分的极限为：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot 2\sqrt{n} = 2
$$

第三步：证明第二部分的极限为0 #

接下来看第二部分$\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n \frac{\sqrt[k]{k}-1}{\sqrt{n+1-k}}$，我们需要证明它的极限是0。

利用泰勒展开，当$t$很小时$e^t -1 = t + o(t)$，所以$\sqrt[k]{k}-1 = e^{\frac{\ln k}{k}} -1 = \frac{\ln k}{k} + o\left( \frac{\ln k}{k} \right)$，也就是说存在常数$C$，使得$|\sqrt[k]{k}-1| \leq C \cdot \frac{\ln k}{k}$对所有$k \geq 1$成立。

那么第二部分的绝对值不超过$\frac{C}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^n \frac{\ln k}{k\sqrt{n+1-k}}$，我们把求和拆成$k \leq \sqrt{n}$和$k > \sqrt{n}$两部分分析：

• 当$k \leq \sqrt{n}$时，$\ln k \leq \ln \sqrt{n} = \frac{1}{2}\ln n$，$\sqrt{n+1-k} \geq \sqrt{n - \sqrt{n}} \approx \sqrt{n}$，每一项$\frac{\ln k}{k\sqrt{n+1-k}} \leq \frac{\ln n}{2\sqrt{n}}$，这部分共有$\sqrt{n}$项，和的上限是$\frac{\ln n}{2}$，乘以$\frac{C}{\sqrt{n}}$后得到$\frac{C \ln n}{2\sqrt{n}}$，当$n \to \infty$时趋向0。
• 当$k > \sqrt{n}$时，$\frac{1}{k} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$，$\ln k \leq \ln n$，而$\sum_{k=\lfloor\sqrt{n}\rfloor+1}^n \frac{1}{\sqrt{n+1-k}} = \sum_{m=1}^{n-\lfloor\sqrt{n}\rfloor} \frac{1}{\sqrt{m}} \approx 2\sqrt{n}$，这部分和的上限是$2\ln n$，乘以$\frac{C}{\sqrt{n}}$后得到$\frac{2C \ln n}{\sqrt{n}}$，当$n \to \infty$时也趋向0。

因此第二部分的极限是0。

最终结论 #

把两部分的结果结合起来，原式的极限就是2。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mikasa