咱们把你的问题拆成两个核心部分来聊，这样更容易理清背后的逻辑：

一、为什么用系数矩阵的秩就能判断多项式的线性无关性？要不要化为行阶梯形？ #

首先得明确一个关键对应关系：多项式空间 ( P_2(t) ) 里的每个多项式，都能和三维实向量空间 ( \mathbb{R}^3 ) 里的向量一一对应，这叫同构。具体来说，对于 ( P_2(t) ) 里的多项式 ( at^2 + bt + c )，它对应的坐标向量就是 ( \begin{pmatrix} c \ b \ a \end{pmatrix} )（对应基 ( {1, t, t^2} )）。

那多项式的线性无关性，就等价于它们对应的坐标向量在 ( \mathbb{R}^3 ) 里线性无关。而对于n个n维向量来说，它们线性无关的充要条件是：由这些向量作为列（或行）构成的矩阵的秩等于n。

至于要不要把矩阵化为行阶梯形？其实不一定——如果矩阵是方阵，你也可以直接算行列式：只要行列式不为零，秩就等于n，向量组就线性无关。不过行阶梯形是最直观的计算秩的方法，尤其是当矩阵不是方阵或者行列式不好算的时候，通过行变换把矩阵化成行阶梯形，数一下非零行的数量就能得到秩，操作起来更稳妥。

回到你的例子：

• ( p_1 = t^2 +4t -3 ) 对应坐标向量 ( \begin{pmatrix} -3 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} )
• ( p_2 = 2t^2 -3t ) 对应坐标向量 ( \begin{pmatrix} 0 \ -3 \ 2 \end{pmatrix} )
• ( p_3 = t +1 ) 对应坐标向量 ( \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} )

把这三个向量作为列构成矩阵：

[ -3   0   1 ]
[  4  -3   1 ]
[  1   2   0 ]

你可以算一下这个矩阵的行列式，或者化成行阶梯形，会发现秩是3，等于向量的个数，所以这三个多项式线性无关。

二、为什么用 ( Ax = b ) 求解线性组合的系数可行？怎么验证解？ #

当你想把 ( t^2 +4t -3 ) 表示成 ( p_1,p_2,p_3 ) 的线性组合时，本质上就是找系数 ( c_1,c_2,c_3 )，使得：
( c_1p_1 + c_2p_2 + c_3p_3 = t^2 +4t -3 )

把左边的多项式展开，合并同类项：
( c_1(t^2+4t-3) + c_2(2t^2-3t) + c_3(t+1) = t^2 +4t -3 )

整理后按 ( t^2,t,1 ) 的系数对应相等，就得到一个线性方程组：

• ( t^2 ) 项系数：( c_1 + 2c_2 = 1 )
• ( t ) 项系数：( 4c_1 -3c_2 + c_3 =4 )
• 常数项：( -3c_1 + c_3 = -3 )

这个方程组写成矩阵形式就是 ( Ax = b )，其中：

• ( A ) 就是刚才由三个多项式的坐标向量构成的矩阵
• ( x = \begin{pmatrix} c_1 \ c_2 \ c_3 \end{pmatrix} ) 是待求的系数向量
• ( b = \begin{pmatrix} -3 \4 \1 \end{pmatrix} ) 是目标多项式 ( t^2+4t-3 ) 的坐标向量

解这个方程组就能得到 ( c_1,c_2,c_3 )。其实你的例子里答案很明显：( c_1=1,c_2=0,c_3=0 )，因为目标多项式就是 ( p_1 ) 本身。

至于验证方法，非常简单：把你求得的系数代入线性组合的左边，计算出结果，看是不是等于右边的目标多项式。比如代入 ( c_1=1,c_2=0,c_3=0 )，左边就是 ( 1p_1 +0p_2 +0*p_3 = p_1 = t^2+4t-3 )，和右边完全一致，说明解是对的。如果是更复杂的系数，比如假设解是 ( c_1=2,c_2=-0.5,c_3=3 )，你就把这些数代入左边展开计算，看得到的多项式是否和目标多项式相同。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ayush Yadav