大家好，我现在在尝试证明广义Holditch定理，但在计算高阶导数的环节卡住了，想请教一下有没有更高效的推导思路，或者哪里我可能走了弯路。

先简单铺垫一下背景：

Holditch定理是关于闭合平面曲线动弦生成区域的经典结论：对于闭合凸平面曲线$\alpha$，长度固定的动弦绕曲线一周时，弦上距两端分别为$a$、$b$的点会描绘出一条内闭曲线（即Holditch曲线$H_{\alpha}$），两条曲线的面积差为$\pi ab$。

我的目标是证明这个定理的广义版本，针对的是光滑闭合正则空间曲线$\alpha:I\to \mathbb{R}^3$（已经用弧长参数化），动弦长度为$L>0$（设定这个长度是为了避免出现倒退运动）。这里的p-Holditch曲线定义为：
$$H_{\alpha}(s)=(1-p)\alpha(s)+p\alpha(f(s,L))$$
其中$f(s,L)$是Holditch函数——一个光滑双射函数，满足若$\alpha(s)$是弦的一个端点，则$\alpha(f(s,L))$是另一个端点；同时我定义了两个辅助函数：

• $m(s,L):= f(s,L)-s$
• $\phi(s,u)$：切向量$t(s)$和$t(s+u)$之间的夹角

我需要证明的引理给出了以下两组高阶导数结果：

1. $m(s,L)$在$L=0$处的前四阶导数 #

• $m_{L}(s,0)=1$
• $m_{LL}(s,0)=0$
• $m_{LLL}(s,0)=\frac{1}{4}\kappa^2(s)$
• $m_{LLLL}(s,0)=\kappa(s)\kappa'(s)$

2. $\phi(s,u)$在$u=0$处的前四阶导数 #

• $\phi_{u}(s,0)=\kappa(s)$
• $\phi_{uu}(s,0)=\kappa'(s)$
• $\phi_{uuu}(s,0)=\kappa''(s)-\frac{1}{4}\kappa(s)\tau(s)$
• $\phi_{uuuu}(s,0)=-\frac{1}{2}\frac{d}{ds}(\kappa(s)\tau^2(s))+\kappa'''(s)$

（注：$\kappa$和$\tau$分别是曲线$\alpha$的曲率和挠率，且曲率非零）

目前进展与卡住的点 #

我已经通过对$||\alpha(s+m(s,L))-\alpha(s)||^2$反复求导，结合洛必达法则算出了$m_L(s,0)=1$和$m_{LL}(s,0)=0$，但继续推导三阶导数的时候，得到了一个非常繁琐的式子：
$$m_{LL}(s,L)\langle\alpha'(s+m(s,L)),\alpha(s+m(s,L))-\alpha(s)\rangle+m_L(s,L)^2\left(\langle \alpha''(s+m(s,L)),\alpha(s+m(s,L))-\alpha(s)\rangle+1\right)=1$$
感觉硬算下去不仅容易出错，而且每算一阶导数都会更复杂，我怀疑是不是有更巧妙的方法——比如利用曲线的Frenet标架展开，或者对约束条件做更系统的隐函数求导？

另外关于$\phi(s,u)$的导数，我还没开始动手，也想知道有没有什么可以利用的技巧（比如利用切向量的内积展开$\cos\phi(s,u)=\langle t(s),t(s+u)\rangle$的泰勒展开？）

希望有大佬能给点思路，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Biephi21