问题描述 #

给定线性常微分方程组：
$$\frac{dx}{dt} = x + y; \quad \frac{dy}{dt} = y$$

我的尝试过程 #

• 首先处理$y$的方程：因为$y$的导数等于自身，直接得到解：$y = c_2e^t$
• 接下来处理$x$的方程，令$D = \frac{d}{dt}$，方程组可改写为：
  $$Dx = x + y \quad \text{和} \quad Dy = y$$
• 对$Dx = x + y$两边求导，得到：$D^2x = Dx + Dy$
• 将$Dy = y$、$y = c_2e^t$代入上式整理后，得到关于$x$的二阶方程：
  $$(D^2 - 2D + 1)x = 0$$
• 解特征方程得到根$D=1$（二重根），但我只写出了$x = c_1e^t$，到这里就卡住了，明明知道最终解应该是$x = c_1e^t + c_2te^t$，不知道后续该怎么推导。

问题解答 #

你卡壳的核心是没注意到二重特征根对应的通解形式！当线性齐次常微分方程的特征方程出现二重根$r$时，通解不能只写单根对应的$c_1e^{{rt}$，必须额外加上$c_2te}{rt}$这一项——因为单根的解已经无法覆盖所有线性无关的解，含$t$的项是用来补充第二个线性无关解的。

具体到你的推导过程：

1. 你得到的二阶方程$(D^2 - 2D + 1)x = 0$，其特征方程为$r^2 - 2r + 1 = 0$，也就是$(r-1)^2=0$，根$r=1$是二重根，所以$x$的通解必须是$x = c_1e^t + c_2te^t$。
2. 你可以代入原方程验证：把$x = c_1e^t + c_2te^t$代入$\frac{dx}{dt} = x + y$，左边$\frac{dx}{dt} = c_1e^t + c_2e^t + c_2te^t$，右边$x + y = c_1e^t + c_2te^t + c_2e^t$，两边完全相等，符合原方程的要求。

另外给你提供一种更直接的方法，不用转成二阶方程，用常数变易法解$x$的方程：
已知$y = c_2e^t$，代入$x$的方程得$\frac{dx}{dt} - x = c_2e^{t$，这是一阶线性非齐次常微分方程，积分因子为$e}{\int -1 dt} = e^{-t}$，两边乘以积分因子后：
$$\frac{d}{dt}(xe^{-t}) = c_2$$
对两边积分得到$xe^{-t} = c_2t + c_1$，整理后就是$x = c_1e^t + c_2te^t$，这样也能快速得到正确解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MrPuffer