嘿，你好！把数学函数和运行时间分析、Landau记号直接绑定的思路太棒了——这种具象的关联正是帮助学生理解理论概念的关键。下面是几个完全符合你“算法特性”要求的绝佳选择，我会说明它们为什么适合你的讲座：

• 第n个斐波那契数（高效计算版）：虽然是经典内容，但绝对值得纳入。普通递归实现的时间复杂度是O(2ⁿ)，但用矩阵快速幂或者通项公式（要提醒学生注意浮点精度问题）可以将复杂度降到O(log n)。这非常适合用来对比不同时间复杂度等级，还能引入分治法、递推优化的知识点。而且学生对斐波那契数很熟悉，更容易代入到算法分析中。
• 第n个卡特兰数：卡特兰数有超多组合学意义——比如合法括号序列的数量、二叉树的计数、凸多边形的三角划分方式等等。直接用通项公式计算需要处理极大整数（因为数值增长极快），而递推式则能自然过渡到动态规划的讨论。它的渐近增长是Θ(4ⁿ/n^(3/2))，刚好能让学生练习推导和应用Landau记号。
• n的正因子个数（τ(n)）：计算n的正因子总数，朴素方法是O(√n)，但如果先用质因数分解（比如针对大数的Pollard Rho算法），就能把复杂度优化到O(log n)。这可以让你对比暴力解法和优化解法，还能和你提到的第n个质数呼应，把数论知识和算法效率联系起来。
• 第n个贝尔数：贝尔数表示n个元素的集合划分总数。朴素递归计算的时间复杂度是O(n²)，但用生成函数或者矩阵快速幂可以优化计算过程。它的增长速度是超指数级的（近似~(n/e)^n），非常适合用来探讨超多项式时间复杂度，把组合数学和算法的极限联系起来。
• n的欧拉函数值（φ(n)）：欧拉函数计算小于n且与n互质的整数个数。计算它需要用到质因数分解——你可以对比暴力*O(n)*的方法和优化后的分解算法，展示数学性质如何降低运行时间。还可以结合欧拉定理，把数论基础和实际算法设计关联起来。
• 第n个斯特林数（第一类/第二类）：第二类斯特林数表示将n个元素划分为k个非空子集的方式数。朴素递归实现是O(nk)，但用生成函数或者基于快速傅里叶变换（FFT）的方法可以优化到O(n log²n)。这能引出分治FFT这类进阶算法，同时它的渐近行为也能让学生练习针对更复杂运行时间边界应用Landau记号。

这些函数都能让你带领学生梳理朴素实现和优化实现的差异，用Landau记号分析它们的运行时间，把理论概念落地到具体的数学问题中——完全符合你想要的兼具理论性和算法深度的讲座需求。对于难题练习，你可以让学生实现朴素和优化两种版本，然后证明各自的时间复杂度边界。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Titanlord