考虑如下问题：
设
$$
f(x) = \begin{cases}
x, &\text{当} \ x\in [0,1]\cap\mathbb{Q}, \
x^2, &\text{当} \ x\in[0,1]\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}
$$
则下列选项正确的是：
(a) $f$在$[0,1]$上既黎曼可积又勒贝格可积
(b) $f$在$[0,1]$上黎曼可积但不勒贝格可积
(c) $f$在$[0,1]$上不黎曼可积但勒贝格可积
(d) $f$在$[0,1]$上既不黎曼可积也不勒贝格可积

首先来说黎曼可积性的判断：你说得完全对，这个函数不满足黎曼可积的条件。根据黎曼可积的勒贝格准则，一个函数在闭区间上黎曼可积当且仅当它的不连续点集是零测集。咱们来验证这个函数的连续点：

• 只有$x=0$和$x=1$这两个点是连续的：在$x=0$处，无论从有理数还是无理数方向趋近，$f(x)$都趋近于0；在$x=1$处，$f(x)$都趋近于1。
• 对于$(0,1)$内的任意一点，周围既有有理数又有无理数，函数值会在$x$和$x^2$之间跳跃，因此都是不连续点。而这些不连续点组成的集合测度为1（整个区间去掉两个点，测度不变），不是零测集，所以$f$不黎曼可积。

接下来看勒贝格可积性：这个函数是勒贝格可积的，可以从这两点来理解：

• 首先，$f(x)$是可测函数：有理数集$\mathbb{Q}\cap[0,1]$是测度为0的可测集，它的补集$[0,1]\setminus\mathbb{Q}$也是可测集；而$x$和$x^2$都是连续函数（必然是可测函数），分段定义的可测函数拼接后仍然是可测函数。
• 其次，$f(x)$的勒贝格积分有限：由于有理数集的测度为0，在这个集合上的积分值为0（零测集上任何可测函数的积分都是0），所以$f$在$[0,1]$上的勒贝格积分就等于$x^{2$在$[0,1]\setminus\mathbb{Q}$上的积分。而$[0,1]\setminus\mathbb{Q}$和$[0,1]$的测度差为0，因此积分值等于$\int_0}1 x^2 dx = \frac{1}{3}$，是有限值，满足勒贝格可积的条件。

综上，正确选项是**(c)**。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math student