嘿，你的思路完全摸对门儿了！咱们一步步来拆解问题，先从你给出的具体二元同余方程组说起，再拓展到更大的多方程多变量场景。

一、你的具体方程组求解步骤 #

首先，你提到的把方程(2)乘-1再加到方程(1)的消元方法，完全正确——单模数下的线性同余方程组，和普通线性方程组的消元逻辑是互通的，而且因为1334537是质数，咱们可以放心用域上的线性代数操作。

具体操作走一遍：

1. 消元消去a项
   用方程(1)减去方程(2)（等价于(1)+(-1)*(2)）：

   • 右边计算：2001 - 243 = 1758
   • 左边的a项直接抵消，k的系数为：1323376 - 1161723 = 161653
     得到新的同余方程：
     161653*k ≡ 1758 (mod 1334537)

2. 求解k的值
   因为1334537是质数，且161653 < 1334537（显然不是模数的倍数），所以161653在模1334537下存在乘法逆元。你可以用扩展欧几里得算法来求这个逆元，或者用费马小定理更快捷：对于质数p，x的逆元是x^(p-2) mod p（用快速幂计算就行）。
   求出逆元后，k的解就是：
   k ≡ 1758 * inv(161653) mod 1334537

3. 回代求解a
   把得到的k的解代回原方程(1)或(2)，比如代入方程(1)：
   a*576885 ≡ 2001 - k*1323376 (mod 1334537)
   同样，576885不是1334537的倍数，所以它的逆元存在，两边乘上576885的逆元就能得到a的解：
   a ≡ (2001 - k*1323376) * inv(576885) mod 1334537

二、更大系统的处理方法 #

当方程组有更多方程和变量时，核心工具就是模质数p下的高斯消元法，普通线性代数的逻辑完全适用——因为模质数p的整数集合构成有限域GF(p)，所有线性代数的基本规则（消元、秩、解空间分析）都能直接套用，只是所有运算都要在模p下进行。

具体步骤和普通高斯消元几乎一致：

• 把方程组转化为增广矩阵，所有元素都取模p后的余数
• 按列进行消元：每一步找到当前列的非零主元行，若当前行主元为0，就和下方的非零行交换
• 用主元行消去其他行的对应列元素，所有加减乘除运算都要在模p下完成（除法就是乘逆元）
• 最终得到行阶梯形或简化行阶梯形矩阵，就能判断解的情况（无解、唯一解、无穷多解），进而求出所有变量的解

手动计算的核心工具还是这几个：

• 扩展欧几里得算法：求逆元、解单个线性同余方程
• 费马小定理：快速求质数模下的逆元（x^(p-2) mod p）
• 模p高斯消元：处理多方程多变量的大型系统

三、关键结论 #

线性代数的核心逻辑在质数模的同余方程组里完全成立！你不用怀疑这一点，本质上是因为质数模的整数集合是一个域，满足普通线性代数所需的所有运算规则（加法交换律、乘法逆元存在等）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rararat