嘿，我完全懂你的困惑——这种代数变形看起来像是凭空凑出来的，但其实背后是有清晰的换元思路支撑的，根本不需要靠试错瞎猜！

咱们一步步拆解这个思路：

1. 先锁定换元目标
   被积函数里有个$\sqrt{r^2+2}$，这种根号内是“二次式”的结构，最常用的技巧就是把根号里的整体设为新变量，也就是令$u = r^2 + 2$。这是这类积分的常规操作，不是碰运气想出来的。

2. 推导微分关系
   对$u$求导可得：$\frac{du}{dr} = 2r$，整理一下就得到$r;dr = \frac{du}{2}$。这一步是换元法的核心，我们需要把原积分里的部分式子和$du$对应上。

3. 用新变量改写原式中的剩余项
   原积分里的$r^{3$可以拆成$r}2 \cdot r$，而$r^2$正好能用我们设的$u$来表示：因为$u = r^2 + 2$，移项就得到$r^2 = u - 2$。把这个代入进去：
   $$r^3 = r^2 \cdot r = (u - 2) \cdot r = [(r^2 + 2) - 2] \cdot r$$
   你看，这个变形完全是顺着换元的逻辑推导出来的，不是凭空试出来的。

4. 代入换元计算积分
   把上面的结果代入原积分，就变成了：
   $$\int (u - 2)\sqrt{u} \cdot \frac{du}{2}$$
   接下来就简单了：把$\frac{1}{2}$提出来，展开括号后分别积分：
   $$\frac{1}{2}\int (u^{3/2} - 2u^{1/2})du = \frac{1}{2}\left( \frac{2}{5}u^{5/2} - 2 \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} \right) + C$$
   化简后再把$u$换回$r^2+2$，就得到了你找到的答案：
   $$\frac{1}{5}(r²⁺²⁾{5/2} - \frac{2}{3}(r²⁺²⁾{3/2} + C$$
   （提醒一下，原函数别忘了加常数项$C$哦）

总结一下，这个变形的关键是跟着换元思路走：先找最适合换元的部分（这里就是根号里的式子），然后用新变量表示原式中的其他项，自然就能得到需要的拆分方式，完全不需要盲目试错。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jonah Legg