Hey there! Let's break down your questions step by step, since there are a couple of key points to clarify here.

关于莱布尼茨判别法的误用 #

首先，你提到想用莱布尼茨判别法来证明这个级数发散，但这里有个关键误解：莱布尼茨判别法是用来判断交错级数（正负项交替出现）收敛的，它的前提是级数是交错的，且通项的绝对值单调递减趋于0。但仔细看你的级数的通项：
$$a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \dots + \frac{(-1)^n}{2n}$$
不管n是奇数还是偶数，$a_n$都是正数：

• 当n为奇数时，项数是偶数（n+1项），可以两两分组：$\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)$，每个括号都是正数，所以总和为正；
• 当n为偶数时，项数是奇数，最后多一个正项$\frac{1}{2n}$，前面的分组也都是正数，所以总和还是正的。

这说明你的级数是正项级数，根本不是交错级数，所以莱布尼茨判别法完全不适用在这里。

提取公因子方法的合理性 #

然后看你提出的提取$\frac{1}{n}$的方法：
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(1 - \frac{n}{n+1} + \dots + \frac{(-1)^n n}{2n}\right)$$
这个操作在代数上是完全正确的，因为每一项$\frac{(-1)^k}{n+k}$（k从0到n）都可以写成$\frac{1}{n} \cdot \frac{(-1)^k n}{n+k}$，所以提取公因子$\frac{1}{n}$是没问题的，而且这个变形能帮我们更方便地分析级数的敛散性。

用变形后的式子证明级数发散 #

令括号里的部分为$S_n$：
$$S_n = 1 - \frac{n}{n+1} + \frac{n}{n+2} - \dots + \frac{(-1)^n n}{2n}$$
我们可以分析$S_n$的渐近行为：
当n趋向于无穷大时，$S_n$可以写成：
$$S_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{1}{1 + k/n}$$
通过分组求和或欧拉求和公式可以得到：

• 当n为偶数时，$S_n \sim \frac{3}{4}$；
• 当n为奇数时，$S_n \sim \frac{1}{4}$。

也就是说，存在一个正数$C$（比如$C=\frac{1}{5}$），使得当n足够大时，$S_n \geq C$。因此通项$a_n = \frac{S_n}{n} \geq \frac{C}{n}$。
而我们知道调和级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$是发散的，根据正项级数的比较判别法，$\sum_{n=1}^\infty a_n$也必然发散。

总结 #

1. 你的初始思路误用了莱布尼茨判别法，因为这个级数是正项级数，不是交错级数；
2. 提取$\frac{1}{n}$的方法是合理的，并且可以结合比较判别法来证明级数发散。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Snake Detection Hypothesis