我目前正在尝试证明下面这个交错Psi函数级数的求和等式：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (\psi(n) - \psi(2n))}{n} =\bbox[15px, #B3E0FF, border: 5px groove #0066CC]{\frac{\pi^2}{16} + \left(\frac{\ln(2)}{2}\right)^2}$$

以下是我目前的推导过程：

首先我把原级数拆分成两个级数的差：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (\psi(n) - \psi(2n))}{n} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \psi(n)}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \psi(2n)}{n}$$

我给这两个级数分别做了记号：
$$\omega_1 =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \psi(n)}{n}$$
$$\omega_2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \psi(2n)}{n}$$

先处理$\omega_1$，利用Psi函数和调和数的关系$\psi(n) = H_{n-1} - \gamma$（其中$H_n$是第n个调和数，$\gamma$是欧拉-Mascheroni常数），展开后得到：
$$\omega_1= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \psi(n)}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{H_{n-1} - \gamma}{n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{H_{n-1}}{n} - \gamma \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n}$$

接着把$H_{n-1}$替换成$H_n - \frac{1}{n}$，同时注意到$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} = -\ln2$，所以这一步转化为：
$$=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \left(H_{n} - \frac{1}{n}\right)}{n} + \gamma \log(2) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n H_{n} \int_{0}^{1} x^{n-1} ,dx + \gamma \log(2) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n2}$$

之后我用积分表示调和数的和，交换求和与积分顺序，再结合已知的zeta函数和eta函数值（$\eta(2)=\frac{\pi^{2}{12}$，$\zeta(2)=\frac{\pi}2}{6}$），把积分拆成两个部分：
$$=-\int_{0}^{1} \frac{\log(1 + x)}{x(1 + x)} ,dx + \gamma \log(2) + \eta(2) = \gamma \log(2) + \frac{1}{2} \zeta(2) - \int_{0}^{1} \frac{\log(1 + x)}{x}dx + \int_{0}^{1} \frac{\log(1 + x)}{x + 1} dx$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bojackkkkk