我最近在解决HMMT 2000年2月Guts部分的第23题：各位数字不同且能被3整除的7位数有多少个？ 自己推导了一种解法，但和官方答案对不上，想请大家帮忙看看问题出在哪。

我的解题思路 #

核心依据是：一个数能被3整除当且仅当它的各位数字之和能被3整除。所以我先枚举了所有「去掉3个数字后，剩余7个数字之和能被3整除」的数字组合，分两类统计：

类别1：去掉的数字包含0的组合

这类组合共有12种：

• 012、015、018、024、027、036、039、045、048、057、069、078

因为去掉的数字里已经包含0，所以剩余的7个数字里没有0，所有排列都是合法的7位数。对应的总数为：
7! × 12 = 5040 × 12 = 60480

类别2：去掉的数字不包含0的组合

我统计了所有这类符合条件的组合，总数是30种：

• 10种：123、126、129、135、138、147、156、159、168、189
• 7种：234、237、246、249、258、267、279
• 5种：345、348、357、369、378
• 4种：456、459、468、489
• 2种：567、579
• 1种：678
• 1种：789

这类组合剩余的7个数字里包含0，需要排除以0开头的无效情况。每类组合的合法7位数个数为总排列数减去以0开头的排列数：
7! - 6! = 5040 - 720 = 4320
30类的总数为：
4320 × 30 = 129600

最终计算结果 #

把两类的数量相加，得到的总数是：
60480 + 129600 = 190080

我的疑问 #

我默认7位数不能以0开头（毕竟常规意义上的数字不会以0开头），但官方答案给出的是224640。我尝试过假设允许0开头的情况，也算不出这个数值。想请教大家，是我的解法哪里有疏漏，还是官方答案可能存在错误？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者RobStam