嘿，这个对数化简的点确实容易让人卡壳，我来一步步给你拆解清楚，保证你能明白为啥$4^{log_2 n}$等于$n^2$：

方法一：利用底数转换+对数核心性质 #

这是最直观的推导方式，因为我们的对数底数是2，刚好可以把4转换成2的幂次：

1. 先把4拆成2的平方：$4 = 2^2$，所以原式可以改写为：
   $$4^{log_2 n} = (2²⁾{log_2 n}$$
2. 根据指数的幂运算规则$(x^a)b = x^{a \times b}$，把指数合并：
   $$(2²⁾{log_2 n} = 2^{2 \times log_2 n}$$
3. 利用对数的缩放性质$k \times log_b x = log_b x^k$，把2拿到对数里面：
   $$2 \times log_2 n = log_2 n^2$$
   此时式子变成：
   $$2^{log_2 n^2}$$
4. 最后用对数的逆运算性质：对于任意底数$b$，$b^{log_b x} = x$（简单说就是“b的‘以b为底x的对数’次方，结果就是x本身”），所以：
   $$2^{log_2 n^2} = n^2$$

方法二：换底公式验证 #

如果你对换底公式更熟悉，也可以用它来交叉验证：

1. 根据换底公式，$log_2 n = \frac{ln\ n}{ln\ 2}$（也可以用常用对数$log_{10}$，不影响结果）
2. 代入原式：
   $$4^{log_2 n} = 4^{\frac{ln\ n}{ln\ 2}}$$
3. 把4写成$e^{ln\ 4}$，而$ln\ 4 = ln\ 2^2 = 2ln\ 2$，代入后：
   $$e^{ln\ 4 \times \frac{ln\ n}{ln\ 2}} = e^{\frac{2ln\ 2 \times ln\ n}{ln\ 2}}$$
4. 约分后得到：
   $$e^{2ln\ n} = (e^{{ln n})}2 = n^2$$

这样就能理解为啥$\frac{4^{log_2 n} - 1}{4 - 1}$会变成$\frac{n^2 - 1}{3}$啦，把这个结果代回你的求和式，就能顺利完成递归式的推导了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者IRP_HANDLER