嗨，我最近在YouTube上刷视频（主要找数学相关的来解闷，时不时会自己试着做做题），偶然看到Michael Penn解$f'(x)=f(1/x)$这个微分-函数方程的视频，觉得这是个不错的挑战，就自己试着推导了一番，过程如下：

首先代入$x=1$，能得到$f'(1)=f(1)$，虽然暂时没看出什么用，但我先记下来了。

为了推进推导，我对原方程两边求导：
$$\begin{align}
f''(x)=\dfrac d{dx}f'(x)=\dfrac d{dx}f(1/x)\
=f'(1/x)\cdot\dfrac d{dx}\dfrac1x=-\dfrac{f(x)}{x^2}
\end{align}$$
由此得到二阶微分方程：
$$f''(x)=-\dfrac{f(x)}{x^2}$$
也就是：
$$x^2y''+y=0$$
再结合之前得到的初始条件$y'(1)=y(1)$。

接下来我尝试解这个二阶微分方程，假设解的形式为$y=x^r$，代入方程后：
$$x^2x{r-2}(r^2-r)+xr=0\
\implies x^r(r2-r)+x^r=0\
x^r(r2-r+1)=0\
\implies r^2-r+1=0$$
解这个二次方程得到：
$$r=\dfrac{1\pm i\sqrt3}2$$
令$r_1=\dfrac{1+i\sqrt3}2$，$r_2=\dfrac{1-i\sqrt3}2$，那么通解可以写成：
$$y=c_1x^{r_1}+c_2x{r_2}$$
之后我把这两个复指数形式的解转化成了实函数形式：
$$x^{r_1}=\sqrt x\left(\cos\left(\dfrac{\sqrt3}2\ln x\right)+i\sin\left(\dfrac{\sqrt3}2\ln x\right)\right)=z\sqrt x\
x^{r_2}=\sqrt x\left(\cos\left(\dfrac{\sqrt3}2\ln x\right)-i\sin\left(\dfrac{\sqrt3}2\ln x\right)\right)=\overline z\sqrt x$$
这里我把$\sqrt x$的系数记作$z$和它的共轭$\overline z$，只是为了避免写一大串复杂的表达式。另外，我把展开$x^{r_1}$和$x{r_2}$的过程留作读者练习了。

到这里我就卡住了，不知道接下来该怎么做。所以我的问题是：

$f'(x)=f(1/x)$这个方程到底有没有解，还是说我做的这些推导其实没有实际意义？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CrSb0001