你的思路完全没问题！让我帮你再梳理一遍推导过程，同时补充另一种验证方式，彻底确认结果的正确性。

你的方法（余数定理法）梳理 #

首先，因为除数是二次多项式 x² - a²，根据多项式除法的基本规则：余数的次数必然小于除数的次数，所以我们可以设余数为线性形式 Ax + B（其中A、B为常数）。

设多项式 P(x) = xⁿ - aⁿ，根据除法关系可以写成：
$$P(x) = (x² - a²)Q(x) + Ax + B$$
这里的 Q(x) 是除法得到的商式。

接下来利用多项式根的性质，代入 x² - a² = 0 的两个根 x = a 和 x = -a：

1. 当 x = a 时：
   $$P(a) = aⁿ - aⁿ = 0 = A \cdot a + B$$
   得到方程：Aa + B = 0
2. 当 x = -a 时，因为n是奇数，所以 (-a)ⁿ = -aⁿ，代入得：
   $$P(-a) = (-a)ⁿ - aⁿ = -aⁿ - aⁿ = -2aⁿ = A \cdot (-a) + B$$
   得到方程：-Aa + B = -2aⁿ

现在解这个二元一次方程组：

• 将两个方程相加：(Aa + B) + (-Aa + B) = 0 + (-2aⁿ)，化简得 2B = -2aⁿ，因此 B = -aⁿ。
• 将第一个方程减去第二个方程：(Aa + B) - (-Aa + B) = 0 - (-2aⁿ)，化简得 2Aa = 2aⁿ，因此 A = aⁿ⁻¹（这里默认 a ≠ 0，否则除数和被除数均为0，除法无意义）。

所以最终余数就是 aⁿ⁻¹x - aⁿ，你的计算完全正确！

补充验证：因式分解法 #

我们也可以通过因式分解的方式推导，进一步验证结果：
因为n是奇数，xⁿ - aⁿ 可以分解为：
$$xⁿ - aⁿ = (x - a)(xⁿ⁻¹ + a xⁿ⁻² + a² xⁿ⁻³ + ... + aⁿ⁻¹)$$
而除数 x² - a² = (x - a)(x + a)，因此：
$$\frac{xⁿ - aⁿ}{x² - a²} = \frac{xⁿ⁻¹ + a xⁿ⁻² + ... + aⁿ⁻¹}{x + a}$$

对右边的分式用余数定理，求分子在 x = -a 处的值：
因为n是奇数，n-1 是偶数，所以 (-a)ⁿ⁻¹ = aⁿ⁻¹，(-a)ⁿ⁻² = -aⁿ⁻²，以此类推，分子代入 x=-a 后为：
$$aⁿ⁻¹ - aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻¹ - ... + aⁿ⁻¹$$
一共n项（n为奇数），相加结果为 aⁿ⁻¹。结合多项式除法关系，我们可以推导出原除法的余数为 aⁿ⁻¹x - aⁿ，和之前的结论完全一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Audric Jardine