当然可行啦！咱们一步步把这个问题拆解明白：

• 先明确各变量的维度：β是p维列向量，X是n×p矩阵，所以Xβ会得到一个n维列向量。这里的指数函数$\exp(Xβ)$是逐元素作用在这个n维向量上的，最终得到的也是一个n维列向量，它的第i个元素就是$\exp\left(\sum_{j=1}^p X_{ij}\beta_j\right)$。

• 接下来要计算的是这个n维向量对p维向量β的导数，本质上是求雅可比矩阵（维度为n×p），矩阵里第(i,j)位置的元素就是$\frac{\partial}{\partial \beta_j} \exp(X_{i\cdot}\beta)$（$X_{i\cdot}$代表X的第i行）。

• 用链式法则就能算出具体元素：
  $$\frac{\partial}{\partial \beta_j} \exp(X_{i\cdot}\beta) = \exp(X_{i\cdot}\beta) \cdot \frac{\partial}{\partial \beta_j}(X_{i\cdot}\beta) = \exp(Xβ)i \cdot X{ij}$$
  这里$\exp(Xβ)_i$指的是$\exp(Xβ)$的第i个元素。

• 最后可以把整个雅可比矩阵用更简洁的形式表示：$\text{diag}(\exp(Xβ)) \cdot X$，其中$\text{diag}(\exp(Xβ))$是一个n×n的对角矩阵，对角线上的元素就是$\exp(Xβ)$的各个元素。

如果是在统计、机器学习这类场景（比如广义线性模型的推导）里遇到这个导数，它其实是个很常用的结果，完全可以放心计算~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者adrimsvieira