咱们先来明确问题：给定ℝ⁴中的子空间
$$W={(x-y+3z, 2x-y+3z+u, -x-3z+2u, x+3y-3z-2u)\in \mathbb{R}^4 : x,y,z,u \in \mathbb{R}, 2x - u = -y-z}$$
我们需要找到它的生成元系，同时验证你给出的推导步骤是否正确。

第一步：整理约束条件 #

你把原约束$2x - u = -y - z$整理成$2x + y + z + u = 0$，这一步完全正确，就是简单的移项合并同类项，没问题。

第二步：向量分解的正确性验证 #

你尝试把W中的向量拆成线性组合：
$$x(1, 2, -1, 1) + y(-1, -1, 0, 3) + z(3, 3, -3, 0) + u(0, 1, 2, -2)$$
咱们逐项核对分量：

• 第一个分量：$x1 + y(-1) + z3 + u0 = x - y + 3z$，和W中向量的第一个分量一致；
• 第二个分量：$x2 + y(-1) + z3 + u1 = 2x - y + 3z + u$，完全匹配；
• 第三个分量：$x*(-1) + y0 + z(-3) + u*2 = -x - 3z + 2u$，没问题；
• 第四个分量这里出错了：W中向量的第四个分量是$x + 3y - 3z - 2u$，但你的分解式里，z对应的第四个分量是0，加起来就少了$-3z$项！所以z的向量应该是$(3, 3, -3, -3)$，而不是$(3,3,-3,0)$，这是一个小疏漏。

修正后的正确分解应该是：
$$x(1, 2, -1, 1) + y(-1, -1, 0, 3) + z(3, 3, -3, -3) + u(0, 1, 2, -2)$$
这样展开后第四个分量就是$x + 3y -3z -2u$，完全符合W中向量的定义。

第三步：利用约束条件化简，得到生成元系 #

因为约束条件$2x + y + z + u = 0$，变量$x,y,z,u$不是独立的，我们可以解出$u = -2x - y - z$，把它代入修正后的分解式：
$$
\begin{align*}
&x(1,2,-1,1) + y(-1,-1,0,3) + z(3,3,-3,-3) + (-2x - y - z)(0,1,2,-2)\
=&x\left[(1,2,-1,1) - 2(0,1,2,-2)\right] + y\left[(-1,-1,0,3) - (0,1,2,-2)\right] + z\left[(3,3,-3,-3) - (0,1,2,-2)\right]\
=&x(1, 0, -5, 5) + y(-1, -2, -2, 5) + z(3, 2, -5, -1)
\end{align*}
$$

接下来验证这三个向量的线性无关性：假设存在实数$a,b,c$使得
$$a(1,0,-5,5) + b(-1,-2,-2,5) + c(3,2,-5,-1) = (0,0,0,0)$$
得到方程组：

1. $a - b + 3c = 0$
2. $-2b + 2c = 0 \implies b = c$
3. $-5a -2b -5c = 0$
4. $5a +5b -c = 0$

把$b=c$代入第一个方程得$a=-2c$，再代入第三个方程得$3c=0$，即$c=0$，进而$b=0,a=0$，说明这三个向量线性无关。

因此，W的一个生成元系就是${(1,0,-5,5), (-1,-2,-2,5), (3,2,-5,-1)}$。当然你也可以通过消去其他变量得到不同的生成元系，只要满足线性无关且能张成W即可。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Катерина Ковальова