嘿，咱们来仔细拆解这个矩阵秩的问题：

假设我们有方阵 $A = B \cdot C$，其中：

• $A$ 是 $n \times n$ 矩阵
• $B$ 是 $n \times m$ 矩阵，满足 $n < m$ 且满行秩（即 $\rho(B)=n$）
• $C$ 是 $m \times n$ 矩阵

核心问题 #

1. 要让 $A$ 也满秩（也就是 $\rho(A)=n$，$A$ 可逆），$C$ 需要满足什么条件？
2. 退一步说，固定这样的 $B$，是否一定存在对应的 $C$ 使得乘积保秩？

先从秩不等式入手分析 #

首先回忆秩的基本不等式：
$$\min{\rho(B),\rho(C)} \geq \rho(A) \geq \rho(B)+\rho(C)-m$$
从这个式子能直接看出来，$\rho(A)=n$ 是完全可能的，因为它并不违反不等式的约束。

必要但不充分条件

首先可以确定：$\rho(C)=n$（$C$ 满列秩）是必要条件，但不充分。
为什么？因为如果 $\rho(C)<n$，那么 $\min{\rho(B),\rho(C)}<n$，根据不等式 $\rho(A) \leq \min{\rho(B),\rho(C)}$，$\rho(A)$ 必然小于 $n$，所以 $C$ 必须满列秩才行，但仅仅满列秩还不够，得有更强的约束。

充分必要条件 #

因为 $B$ 满行秩，所以它存在左逆：也就是存在一个 $m \times n$ 矩阵 $B^+$，使得 $B^+B = I_n$（$n$ 阶单位矩阵）。基于这个性质，我们可以推导出 $A=BC$ 满秩的等价条件：

$C$ 的列空间与 $B$ 的零空间（$\ker B$）的交集仅包含零向量，也就是 $\ker B \cap \text{Col}(C) = {0}$

为什么这个条件等价？咱们来双向验证：

• 正向推导：如果 $\ker B \cap \text{Col}(C)={0}$，那么对任意非零向量 $x$，$Cx$ 都不在 $B$ 的零空间里，也就是 $BCx \neq 0$，这说明 $BC$ 是单射。而 $BC$ 是 $n \times n$ 方阵，单射就意味着它是可逆的（满秩）。
• 反向推导：如果 $BC$ 可逆，假设存在非零向量 $v \in \ker B \cap \text{Col}(C)$，那么必然存在某个向量 $x$ 使得 $Cx = v$，此时 $BCx = Bv = 0$。但 $BC$ 可逆的话，只有 $x=0$ 能让 $BCx=0$，这就矛盾了，所以交集只能是零向量。

存在性问题：当然存在这样的 $C$！ #

固定满行秩的 $B$，我们可以直接构造出满足条件的 $C$：
比如，因为 $B$ 满行秩，我们可以从它的 $m$ 列中选出 $n$ 个线性无关的列，构成一个 $n \times n$ 的可逆矩阵 $B_0$。然后构造 $C$ 为：
$$C = \begin{pmatrix} B_0^{-1} \ 0_{(m-n) \times n} \end{pmatrix}$$
此时计算 $BC$，就会得到 $B_0 B_0^{-1} + 0 = I_n$，显然是满秩的单位矩阵。

更一般地，只要取 $C$ 是满列秩矩阵，且它的所有列都不在 $B$ 的零空间里，就能满足 $\ker B \cap \text{Col}(C) = {0}$，从而让 $A=BC$ 满秩。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mingzhou Liu