嘿，我最近在解决这个函数单调性的问题时卡壳了，推导出来的结果好像有问题，想请大家帮忙找找错：

已知函数 $f(x)=\mu x-\sin x, x>0$ 是单调递增函数，判断$\mu$的取值范围，选项如下：
(a) $\mu > -1$ (b) $\mu < -1$ (c) $\mu > 1$ (d) $\mu < -1$（注：选项b和d重复了，应该是输入失误）

我自己的推导步骤是这样的：

• 首先对$f(x)$求导：$f(x)=\mu x-\sin x \Rightarrow f'(x)=\mu - \cos x$
• 因为$f(x)$是单调递增函数，所以按照我之前学的，应该有$f'(x) > 0$对所有$x>0$恒成立，于是推导得出：
  $$\mu - \cos x > 0 \Rightarrow \mu > \cos x$$
• 接下来我考虑到$\cos x$在全体实数上的取值范围是$[-1,1]$，所以觉得只要$\mu > -1$，就能满足$\mu > \cos x$对所有$x$成立，所以选了选项(a)。

但是后来我找到了一些反例，说明这个结论是不对的——这就说明我的推导肯定哪里出问题了，可我翻来覆去看了好几遍都没找到错处，有没有大佬能帮我指出来呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者O M