你的这个思路完全没问题，而且是非常直接有效的方法！咱们一步步拆解来看你的推导，确认每一步的合理性：

问题回顾 #

设$X_1,\cdots,X_n$是独立同分布的随机变量，满足对每个$1\leq j\leq n$，$\mathbb{E}(X_j)=0$，且存在$1<p<2$使得$(E(|X_j|^p)){1/p}=M<\infty$。令$S_n=X_1+\cdots+X_n$，证明对任意$\delta>0$，当$n\to\infty$时，$P(|S_n/n|>\delta)\to0$。这是不需要有限方差假设的弱大数定律。

你的推导合理性验证 #

1. 马尔可夫不等式的应用
   你对$|S_n|^p$应用马尔可夫不等式，得到：
   $$P(|S_n|^p \geq (\delta n)^p) = P(|S_n| \geq \delta n) \leq \frac{\mathbb{E}[|S_n|^p]}{(\delta n)^p}$$
   这一步完全正确，马尔可夫不等式对所有非负随机变量都适用，而$|S_n|^p$显然是非负的，满足应用条件。

2. 闵可夫斯基不等式的使用
   因为$X_j$独立同分布且期望为0，你用闵可夫斯基不等式（$L^p$空间的三角不等式，当$p\geq1$时成立，这里$1<p<2$刚好满足）得到：
   $$ (\mathbb{E}[|S_n|^p]){1/p} \leq \sum_{j=1}^n (\mathbb{E}[|X_j|^p]){1/p} = nM. $$
   这里要说明的是，闵可夫斯基不等式并不要求变量独立，只要它们属于$L^p$空间即可，而题目中已经明确每个$X_j$的$p$阶矩有限，所以这个应用是完全合理的。

3. 收敛性的最终推导
   由上面的不等式进一步推导：
   $$ \frac{\mathbb{E}[|S_n|^p]}{(\delta n)^p} = \left( \frac{(\mathbb{E}[|S_n|^p]){1/p}}{\delta n} \right)^p \leq \left( \frac{nM}{\delta n} \right)^p = \left( \frac{M}{\delta} \right)^p \cdot \frac{1}{n^{p-1}} $$
   由于$1<p<2$，可知$p-1>0$，当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n^{p-1}}$会趋近于0，因此：
   $$ P\left(\frac{|S_n|}{n} \geq \delta\right) \leq \left( \frac{M}{\delta} \right)^p \cdot \frac{1}{n^{p-1}} \to 0$$
   整个逻辑链完整且严谨，完美完成了证明。

关于测度论方法的疑问 #

其实你的方法已经是简洁高效的最优选择之一了。如果非要从纯测度论角度尝试，也可以考虑截断随机变量的方法：比如令$X_{j,n}=X_j I_{|X_j|\leq n}$（$I$为指示函数），然后将$S_n$分解为截断部分的和与非截断部分的和，分别估计两部分的概率上界。不过这种方法步骤会繁琐很多，远不如你当前的马尔可夫+闵可夫斯基的组合来得直接。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hector Lombard