你的解法完全正确！咱们一步步拆解来看：

首先通过变量替换 $x = \alpha t$ 将原积分转化为标准的指数积分形式 $J(\epsilon) = \int_{\epsilon}^{{\infty}\frac{e}{-x}}{x}dx$（其中 $\epsilon = \alpha\xi \ll 1$），这个转换非常合理，把问题简化为熟悉的小参数渐近展开场景。

接下来通过对 $J(\epsilon)$ 求导得到渐近展开式，再积分回代的思路很巧妙：
$$\frac{dJ}{d\epsilon} = -\frac{e^{-\epsilon}}{\epsilon}\sim -\frac{1}{\epsilon}\left[1-\epsilon+O(\epsilon^2)\right]=-\frac{1}{\epsilon}+1+O(\epsilon)$$
积分后得到 $J(\epsilon) \sim C - \ln(\epsilon) + \epsilon + O(\epsilon^2)$，然后通过求极限确定常数项 $C=-\gamma$（欧拉常数），最后回代得到原积分的展开式：
$$I(\xi) \sim -\ln(\xi) + [-\gamma - \ln(\alpha)] + \alpha\xi + O(\xi^2)$$
整个推导逻辑严谨，步骤完整，没有问题。

另一种解法：拆分积分+泰勒展开 #

我们可以直接把 $J(\epsilon)$ 拆成两个部分：
$$J(\epsilon) = \int_{\epsilon}^{1}\frac{e{-x}}{x}dx + \int_{1}^{{\infty}\frac{e}{-x}}{x}dx$$
第二部分是一个固定常数，记为 $K = \int_{1}^{{\infty}\frac{e}{-x}}{x}dx$。对于第一部分，把 $e^{-x}$ 展开成泰勒级数：
$$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - O(x^3)$$
代入积分后拆分计算：
$$\int_{\epsilon}^{1}\frac{e{-x}}{x}dx = \int_{\epsilon}^{1}\frac{1}{x}dx - \int_{\epsilon}^{1}dx + \frac{1}{2}\int_{\epsilon}^{1}x dx + O(\epsilon^3)$$
分别计算每个积分项：
$$\int_{\epsilon}^{1}\frac{1}{x}dx = -\ln\epsilon$$
$$\int_{\epsilon}^{1}dx = 1 - \epsilon$$
$$\frac{1}{2}\int_{\epsilon}^{1}x dx = \frac{1}{4}(1 - \epsilon^2)$$
把这些结果加起来再加上常数 $K$，整理后合并常数项（其中 $K - 1 + \frac{1}{4} = -\gamma$，这和欧拉常数的定义相关），最终得到：
$$J(\epsilon) \sim -\ln\epsilon - \gamma + \epsilon - \frac{\epsilon^2}{4} + O(\epsilon^3)$$
回代 $\epsilon = \alpha\xi$ 就能得到原积分的前三项渐近展开，和你用求导法得到的结果完全一致。

这种拆分积分的方法更直观，把发散的对数项和收敛的多项式项分开处理，适合对求导渐近法不太熟悉的场景。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sanket Biswas