嘿，先给你一个明确的结论：你转化得到的多重级数其实是发散的，而且原级数$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor}}{\sqrt{n}}$本身也是发散的。下面我一步步给你理清楚：

首先，你的转化过程在代数运算上是正确的，最终得到的关系式可以修正笔误后写成：
$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor}}{\sqrt{n}}=-2\sum_{k=2}^\infty (-1)^k \sum_{m=1}^{k2-1} \frac{1}{\sqrt{m}}$$

接下来我们用级数收敛的必要条件来判断：任何收敛的级数，其通项必须趋于0。我们看转化后级数的通项：
$$a_k = -2(-1)^k \sum_{m=1}^{k2-1} \frac{1}{\sqrt{m}}$$

我们可以用积分近似来估计内层求和的大小：对于正项级数$\sum_{m=1}^N \frac{1}{\sqrt{m}}$，它的渐近行为是
$$\sum_{m=1}^N \frac{1}{\sqrt{m}} \sim 2\sqrt{N} + C$$
其中$C$是一个和欧拉常数相关的固定常数。当$N=k^2-1$时，$\sqrt{N} \approx k$，所以
$$\sum_{m=1}^{k2-1} \frac{1}{\sqrt{m}} \sim 2k$$

代入通项$a_k$后，能得到$|a_k| \sim 4k$——当$k\to\infty$时，$|a_k|$会趋于无穷大，完全不满足“通项趋于0”这个收敛必要条件，因此转化后的多重级数必然是发散的。

再回到原级数，它的部分和会持续在正负值之间振荡，且振幅不会缩小：每一组同符号的项（对应$\lfloor \sqrt{n}\rfloor=m$的所有n）的和大约是$(-1)^m \times 2$，随着m增大，这个和的绝对值始终接近2，不会趋近于0。这就导致原级数的部分和无法收敛到某个固定极限，因此原级数本身也是发散的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者George Euler