嘿，我最近在研读Shaum's《高等微积分》第311-312页的商判别法，对它的正确性产生了疑问，先把书上给出的判别法内容整理出来：

(a) 若在区间 $a\leq x\leq b$ 上满足 $f(x)\geq 0$ 且 $g(x)\geq 0$，同时 $\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=A$（$A$ 非0也不是无穷大），那么反常积分 $\int_a^b f(x)dx$ 和 $\int_a^b g(x)dx$ 要么同时收敛，要么同时发散。

(b) 若在(a)的条件下 $A=0$，那么如果 $\int_a^b g(x)dx$ 收敛，则 $\int_a^b f(x)dx$ 也收敛。

我尝试构造了一个例子来验证：令 $g(x)=\frac{1}{x^2}$，$f(x)=\frac{1}{x}$，计算极限 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}x=0$，但反常积分 $\int_0^1\frac{1}{x2}dx$ 和 $\int_0^1\frac{1}{x}dx$ 都是发散的。这让我开始疑惑，书上的这个判别法是不是存在问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者per persson