嘿，我来帮你梳理清楚这里的问题症结所在～

首先，先明确你的场景：给定Weierstrass标准型椭圆曲线 $C: y^2 = x^3 + Ax^2 + B$，你考虑函数域里的有理函数 $f/g = (x - a)/1 \in K(C)$，它和曲线交于点$(a,b)$和$(a,-b)$。你尝试用两种不同的齐次化方式计算极点，得到了看似矛盾的结果，核心问题出在齐次化后没有结合曲线方程分析函数在射影点上的实际局部行为，下面具体拆解：

第一种齐次化（按Z齐次化，对应标准仿射坐标$(x,y)=(X/Z,Y/Z)$） #

这种方式是正确的：

• 曲线的齐次方程为 $Y^2 Z = X^3 + A X^2 Z + B Z^3$
• 原函数 $x - a$ 齐次化后得到 $\frac{X - aZ}{Z}$，这个表达式是射影曲线 $C$ 上的有理函数。

找极点时，我们需要在曲线 $C$ 上找分母$Z=0$的点：把$Z=0$代入曲线方程，得到$0 = X^3$，即$X=0$，对应射影点$(0:1:0)$（射影坐标可缩放，$Y≠0$，否则是无效点$(0:0:0)$）。

关于极点阶数：在$(0:1:0)$处取局部参数$s = Z/Y$（令$Y=1$，则$s=1/y$），结合曲线方程可得$x = \frac{X}{Z} \sim \frac{1}{s^2}$，因此$x - a \sim \frac{1}{s^2}$，这是一个二阶极点（你之前说三阶是小失误哦）。

第二种齐次化（按Y齐次化，对应仿射坐标$(x,z)=(X/Y,Z/Y)$） #

这里的关键错误是：你单纯看分母$Y=0$的点，却没有结合曲线方程分析函数在这些点上的实际行为：

• 齐次化后的表达式是 $\frac{X - aY}{Y}$，但分母$Y=0$的点$(e_i:0:1)$（其中$x^3+Ax2+B=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$）首先要满足曲线方程，代入后确实是曲线的点，但我们需要看分子在这些点上的值：
  • 当$Y=0$时，分子$X - aY = X = e_i Z ≠ 0$（因为$e_i$是三次方程的有限根，$Z≠0$）。
  • 在这些点处，原函数$x - a = \frac{X}{Z} - a = e_i - a$，如果$e_i ≠ a$，这是一个非零常数，根本不是极点；如果$e_i = a$（即$a$是三次方程的根），结合曲线方程$Y^2 = (X - a)(X - e_2)(X - e_3)$，可得$x - a = \frac{Y^2}{(X - e_2)(X - e_3)}$，这时候该点是函数的二阶零点，而非极点。

矛盾的根源与解决 #

所谓的“矛盾”其实是假的，因为你在第二种齐次化时，脱离了椭圆曲线的方程，单纯把有理函数当成普通的射影平面有理函数来分析，而没有考虑它是定义在椭圆曲线这个代数簇上的函数——射影曲线上的有理函数的极点，是指在曲线的点处函数趋向无穷，而$Y=0$的点要么是函数的常值点，要么是零点，完全不符合极点的定义。

总结一下：原函数$(x - a)/1$在射影椭圆曲线$C$上的唯一极点就是无穷远点$(0:1:0)$，两种齐次化方式的结果并不矛盾，只是第二种方式下你误判了极点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ignatio Mobius