嘿，这个问题在有限维线性代数里真的是高频疑问，我来给你掰扯清楚～

首先先纠正你一个小误区：你提到的“证明两组基的向量线性相关”这个说法不准确哦——毕竟在ℝ³里随便找两个不同的2维子空间，把它们的4个基向量放一起肯定是线性相关的（因为ℝ³最多容下3个线性无关向量），但它们张成的子空间完全不同。所以正确的判定逻辑得从子空间的包含关系出发，因为有限维子空间里，维数相同的话，“包含”就等价于“相等”。

给你列几个实用的等价判定方法，挑你顺手的用就行：

• 双向线性表出法：证明第一组基里的每一个向量都能被第二组基线性表示，同时第二组基里的每一个向量也能被第一组基线性表示。不过其实可以偷个懒：因为两组基都是k维子空间的基（维数相同），所以只要证明其中一组基的所有向量都能被另一组基线性表出，就能推出两个子空间相等——毕竟维数相同的子空间，只要一个包含另一个，必然互相包含。
• 矩阵秩判定法：把两组基的向量都作为列（或行）拼成矩阵，比如第一组基列向量组成矩阵A，第二组组成矩阵B，然后构造增广矩阵[A | B]，如果这个增广矩阵的秩等于A的秩（也就是等于子空间的维数k），说明B的所有列都在A的列空间里，结合维数相同，就能判断两个子空间相等。同理也可以看[B | A]的秩，不过只要验证一个方向就行。
• 行最简形对比法：分别把A和B做行初等变换化成行最简形，如果它们的行最简形的“主元列”结构完全一致（或者说它们的行空间相同），那对应的列空间（也就是基张成的子空间）就是同一个。

接下来就拿你给的ℝ³里的实例来具体验证吧：
已知两组基：
S₁ = {(1,2,3), (2,-1,1)}，S₂ = {(1,0,1), (0,1,1)}

我们用最直观的单向线性表出法来验证（因为两组都是2维子空间的基，只要验证S₁的向量都能被S₂表出就行）：

1. 验证(1,2,3)能否被S₂的向量线性表出：
   设存在实数a,b使得 a*(1,0,1) + b*(0,1,1) = (1,2,3)
   拆成分量方程：
   • 第一分量：a = 1
   • 第二分量：b = 2
   • 第三分量：a + b = 3
     代入a=1,b=2，第三分量1+2=3刚好成立，完美，所以(1,2,3)=1*(1,0,1)+2*(0,1,1)
2. 验证(2,-1,1)能否被S₂的向量线性表出：
   设存在实数c,d使得 c*(1,0,1) + d*(0,1,1) = (2,-1,1)
   分量方程：
   • 第一分量：c = 2
   • 第二分量：d = -1
   • 第三分量：c + d = 1
     代入c=2,d=-1，第三分量2+(-1)=1刚好成立，所以(2,-1,1)=2*(1,0,1)+(-1)*(0,1,1)

因为S₁的两个向量都能被S₂的基线性表出，而两组基张成的都是2维子空间，所以它们必然张成同一个子空间。

如果你想再严谨一点，也可以反过来验证S₂的向量能被S₁表出：比如(1,0,1)可以写成(1/5)(1,2,3)+(2/5)(2,-1,1)，(0,1,1)可以写成(2/5)(1,2,3)+(-1/5)(2,-1,1)，代入计算都能成立，完全没问题。

用行最简形的方法也能快速验证：把S₁的列向量矩阵做行变换，最终会化成和S₂的列向量矩阵一样的行最简形[[1,0],[0,1],[0,0]]，这也能直接说明它们的列空间相同。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vasilis Georgoulas