嘿，我来帮你理清楚这个问题～你之前得到的展开式应该是哪里算错啦，咱们从头一步步推导，就能找到渐近线了。

首先先把函数做个变形，方便后续用泰勒展开：
$$f(x)=\frac{x^{x+1}}{(x+1)x}=x\cdot\left(\frac{x}{x+1}\right)^x$$
为了展开它，先对函数取自然对数会更简单：
$$\ln f(x)=(x+1)\ln x - x\ln(x+1)$$

接下来我们用泰勒公式展开$\ln(x+1)$，当$x\to+\infty$时，我们可以把$\ln(x+1)$写成$\ln x + \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$，而$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$的泰勒展开式（针对$\frac{1}{x}$的小量）是：
$$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^{2}+\frac{1}{3x}3}+o\left(\frac{1}{x^3}\right)$$

把这个代入到$\ln f(x)$的表达式里：
$$
\begin{align*}
\ln f(x)&=(x+1)\ln x - x\left[\ln x + \frac{1}{x}-\frac{1}{2x^{2}+\frac{1}{3x}3}+o\left(\frac{1}{x^3}\right)\right]\
&=x\ln x + \ln x - x\ln x -1 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\
&=\ln x -1 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)
\end{align*}
$$

现在把这个结果指数化，得到$f(x)$的表达式：
$$f(x)=\exp\left(\ln x -1 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=\frac{x}{e}\cdot\exp\left(\frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)$$

再对指数部分用泰勒展开（$\exp(t)=1+t+\frac{t^2}{2}+o(t2)$，这里$t=\frac{1}{2x}-\frac{1}{3x^{2}+o(\frac{1}{x}2})$）：
$$
\begin{align*}
\exp\left(\frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + o\left(\frac{1}{x^{2}\right)\right)&=1+\left(\frac{1}{2x}-\frac{1}{3x}2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2x}\right)^2 + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\
&=1+\frac{1}{2x}-\frac{1}{3x^{2}+\frac{1}{8x}2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\
&=1+\frac{1}{2x}-\frac{5}{24x^{2}+o\left(\frac{1}{x}2}\right)
\end{align*}
$$

把这个代回$f(x)$的表达式，最终得到：
$$f(x)=\frac{x}{e}+\frac{1}{2e}-\frac{5}{24e x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$$

现在看这个展开式，当$x\to+\infty$时，后面的$\frac{-5}{24e x}+o(\frac{1}{x})$会趋近于0，所以函数$f(x)$会无限趋近于线性函数$y=\frac{x}{e}+\frac{1}{2e}$，这就是它的斜渐近线。

另外补充一下定义域相关的渐近线：当$x\to0^+$时，$f(x)\to0$，没有垂直渐近线；而$x<-1$时函数的定义比较复杂（涉及负数的非整数次幂），一般我们只考虑$x>0$的情况，所以主要的渐近线就是上面这条斜渐近线啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Daeree