嘿，我看了你对$\frac{z}{2-z}$的级数展开推导啦，不过得提醒你一下——你现在得到的展开式其实是泰勒级数，适用范围是$|z|<2$，但题目要求的是$2<|z|<\infty$这个区域的洛朗级数（也就是要包含负指数项的那种），所以推导方向得调整哦～

咱们重新针对$|z|>2$的情况来处理：此时$\left|\frac{2}{z}\right|<1$，刚好能用上几何级数公式$\sum_{n=0}^\infty w^n = \frac{1}{1-w}$（当$|w|<1$时）。

先改写原式：
$$\frac{z}{2-z} = \frac{z}{-z\left(1-\frac{2}{z}\right)} = -\frac{1}{1-\frac{2}{z}}$$

接着用几何级数展开：
$$-\frac{1}{1-\frac{2}{z}} = -\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{z}\right)^n = -\sum_{n=0}^\infty 2^n z^{-n}$$

把它展开写出来就是：
$$-1 - \frac{2}{z} - \frac{4}{z^2} - \frac{8}{z^3} - \dots$$

再回你的疑问：你之前得到的$-1+\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{2}\right)^{n$确实是$|z|<2$时的展开，这里面没有负指数项，不符合题目要求的洛朗级数。另外，$a_{-1}$不是$-1$哦，在正确的洛朗展开里，$z}{-1}$的系数是$-2$，常数项$a_0$才是$-1$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MyMathYourMath