嘿，这个问题问得特别实在——你说的思路完全站得住脚，这其实就是有限范围数学归纳法的标准操作！

咱们拆解一下逻辑：

• 你已经搞定了基例：证明$P(0)$成立，这是整个证明的起点，没问题。
• 你的归纳假设思路非常对：假设对于所有满足$0 \leq n \leq k-1$的自然数$n$，命题$P(n)$都成立。这其实是强归纳法的思路，但在有限范围内，它和普通归纳法的效力是一样的。
• 接下来你只需要完成关键的一步：基于这个归纳假设，证明$P(k)$成立。这样一来，从$P(0)$能推$P(1)$，从$P(0)、P(1)$能推$P(2)$……一直到推导出$P(k)$，整个$0 \leq n \leq k$的范围就全部覆盖了，完全不需要考虑$n=k+1$（毕竟咱们的目标本来就不包含它）。

举个接地气的例子帮你理解：比如要证明“对$0 \leq n \leq 4$，$2^n < 20$”：

• 基例$P(0)$：$2^0=1 < 20$，成立。
• 归纳假设：假设对所有$0 \leq n \leq 3$，$2^n < 20$成立。
• 证明$P(4)$：$2^4=16 < 20$，显然成立。到这里，0到4的所有情况就都被证明了。

本质上，你就是把无限归纳的链条截断在了$k$这个节点，逻辑上完全严谨——因为我们的命题只需要覆盖有限的自然数区间，只要能完成从“前面所有成立的情况”推导出“下一个情况成立”的步骤，直到目标的$k$，整个证明就完美闭环了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Brad G.