嗨，我来帮你搞定这个考试里遇到的问题！咱们一步步拆解分析：

首先先明确题目给出的核心条件：

• $X_n$是独立同分布的随机变量序列，对任意$x\geq1$，有$\mathbb{P}(X_1>x)=\mathbb{P}(X_1<-x)=\frac{1}{2x}$，这说明$X_1$是对称分布，且尾概率$\mathbb{P}(|X_1|>x)=\frac{1}{x}$，属于重尾分布（一阶矩不存在，因为$\mathbb{E}|X_1|=\int_{1}^{{\infty}\mathbb{P}(|X_1|>x)dx=\int_{1}}{\infty}\frac{1}{x}dx$发散，所以常规大数定律不适用，无法收敛到常数）。
• $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$，我们需要证明$\frac{S_n}{n}$依分布收敛，并找到极限分布。

方法选择：特征函数法 #

对于依分布收敛的问题，特征函数法是非常有效的工具——根据Levy连续性定理，随机变量序列依分布收敛到某个极限，当且仅当它们的特征函数逐点收敛到极限的特征函数，且极限特征函数在t=0处连续（这里显然满足）。

步骤1：计算$X_1$的特征函数$\phi(t)$ #

因为$X_1$是对称的，所以$\phi(t)=\mathbb{E}[e^{itX_1}]=\mathbb{E}[\cos(tX_1)]$（虚部的期望为0，因为奇函数在对称区间上积分是0）。

先求$X_1$的密度函数：

• 当$|x|\geq1$时，$\mathbb{P}(X_1\leq x)=1-\mathbb{P}(X_1>x)=1-\frac{1}{2x}$（x≥1）；$\mathbb{P}(X_1\leq x)=\mathbb{P}(X_1<-|x|)=\frac{1}{2|x|}$（x≤-1）。对x求导得到密度函数$f(x)=\frac{1}{2x^2}$（$|x|\geq1$）；
• 当$|x|<1$时，$\mathbb{P}(|X_1|\leq1)=1-\mathbb{P}(|X_1|>1)=0$，所以密度为0。

因此特征函数可以写成：
$$\phi(t)=\int_{-\infty}^{{-1}\cos(tx)\cdot\frac{1}{2x}2}dx + \int_{1}^{{\infty}\cos(tx)\cdot\frac{1}{2x}2}dx = \int_{1}^{{\infty}\frac{\cos(tx)}{x}2}dx$$
（利用偶函数对称性，两个积分相等）

步骤2：特征函数的渐近展开（t→0时） #

对上述积分做分部积分：令$u=\cos(tx)$，$dv=\frac{1}{x^2}dx$，则$du=-t\sin(tx)dx$，$v=-\frac{1}{x}$，代入得：
$$\phi(t)=\left. -\frac{\cos(tx)}{x} \right|{1}^{\infty} - t\int{1}^{\infty}\frac{\sin(tx)}{x}dx$$

• 第一项当x→∞时，$\frac{\cos(tx)}{x}\to0$，所以第一项结果为$\cos(t)$；
• 第二项做变量替换$u=tx$，积分变为$\int_{t}^{{\infty}\frac{\sin(u)}{u}du=\frac{\pi}{2}-\text{Si}(t)$，其中$\text{Si}(t)$是正弦积分，当t→0时，$\text{Si}(t)=t+o(t)$，因此$\int_{t}}{\infty}\frac{\sin(u)}{u}du=\frac{\pi}{2}-t+o(t)$。

将这些代入特征函数，当t→0时：
$$\phi(t)=\cos(t)-t\left(\frac{\pi}{2}-t+o(t)\right)$$
展开$\cos(t)=1-\frac{t^2}{2}+o(t2)$，合并同类项后可得：
$$\phi(t)=1-\frac{\pi}{2}|t|+o(|t|)$$
（这里加上绝对值是因为$X_1$对称，特征函数是偶函数，t<0时的展开和t>0时一致）

步骤3：计算$\frac{S_n}{n}$的特征函数的极限 #

$\frac{S_n}{n}$的特征函数为$\phi_n(t)=\phi\left(\frac{t}{n}\right)^{n$（因为独立同分布随机变量和的特征函数是各变量特征函数的乘积，缩放后为$\phi(t/n)}n$）。

对$\phi_n(t)$取对数：
$$\log\phi_n(t)=n\log\phi\left(\frac{t}{n}\right)$$
当n→∞时，$\frac{t}{n}\to0$，利用$\log(1-\varepsilon)\approx-\varepsilon$（ε→0），代入$\phi\left(\frac{t}{n}\right)=1-\frac{\pi}{2}\cdot\frac{|t|}{n}+o\left(\frac{|t|}{n}\right)$，可得：
$$\log\phi_n(t)\approx n\left(-\frac{\pi|t|}{2n}\right)=-\frac{\pi}{2}|t|$$
当n→∞时，高阶小项趋于0，因此$\log\phi_n(t)\to-\frac{\pi}{2}|t|$，即$\phi_n(t)\to e^{-\frac{\pi}{2}|t|}$。

步骤4：识别极限分布 #

我们知道，柯西分布的特征函数形式为$e^{i\mu t-\gamma|t|}$，其中μ是位置参数，γ是尺度参数。这里极限特征函数是$e^{-\frac{\pi}{2}|t|}$，对应μ=0，γ=$\frac{\pi}{2}$的柯西分布，其概率密度函数为：
$$f(y)=\frac{\frac{\pi}{2}}{\pi\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)^2+y2\right)}=\frac{2}{\pi^2+4y2}$$

结论 #

综上，当$n\to\infty$时，$\frac{S_n}{n}$依分布收敛到位置参数为0、尺度参数为$\frac{\pi}{2}$的柯西分布。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Harry