完全理解你觉得那个竞赛题解法有点“突兀”的感受——竞赛技巧有时候确实像凭空冒出来的，没接触过的话很难get到思路。咱们换个更接地气、顺理成章的思路来拆解这个问题：

首先，明确问题的核心条件：

• 给定有理数$a,b$，且$a^{2<4b$（保证$x}2+ax+b$恒为正，根号有意义）
• 找所有有理数$x$，使得$\sqrt{x^2+ax+b}$也是有理数

直观推导步骤 #

1. 直接设变量转化问题
   既然要求根号结果是有理数，我们直接设$\sqrt{x^2+ax+b}=s$，其中$s\in\mathbb{Q}$（有理数集）。这一步很自然，把根号这个“障碍”转化为一个普通的有理数变量。

2. 平方后整理，用平方差因式分解
   对等式两边平方得：
   $$s^2 = x^2 + ax + b$$
   把含$x$的项移到左边，利用平方差公式因式分解（这是代数里非常常用的化简技巧）：
   $$s^2 - x^2 = ax + b$$
   $$(s - x)(s + x) = ax + b$$

3. 换元简化方程
   因为$s$和$x$都是有理数，它们的差$s-x$肯定也是有理数（有理数的加减运算封闭），我们令$t = s - x$（$t\in\mathbb{Q}$且$t\neq0$，若$t=0$代入原式会得到$0=ax+b$，仅当$a\neq0$时$x=-b/a$，这一特殊情况也包含在后续结果里），那么$s = x + t$。

4. 代入求解x
   把$s=x+t$代入因式分解后的等式：
   $$t \cdot (x + t + x) = ax + b$$
   展开并整理成关于$x$的一元一次方程：
   $$2tx + t^2 = ax + b$$
   $$(2t - a)x = b - t^2$$
   最后解出$x$：
   $$x = \frac{b - t^2}{2t - a} = \frac{t^2 - b}{a - 2t}$$

为什么这个推导更直观？ #

这个过程每一步都是代数基础操作：从设变量消除根号，到用平方差分解简化，再到换元降次，完全符合平时学习代数的思维逻辑，不像竞赛解法里“突然设$\sqrt{x^2+ax+b}-x=r$”那样让人摸不着头脑。其实竞赛解法的本质就是这里的换元$t=s-x$，只是直接跳过了前面的铺垫，显得很“技巧化”。

另外，我们还可以用配方的思路来理解：
把$x^2+ax+b$配方得：
$$x^2+ax+b = \left(x+\frac{a}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{a^2}{4}\right)$$
令$y=x+\frac{a}{2}$（$y\in\mathbb{Q}$），$c=b-\frac{a^{2}{4}$（$c>0$且$c\in\mathbb{Q}$），问题转化为找有理数$y$使得$\sqrt{y}2+c}$是有理数，即$y^2+c=s2$，也就是$s^2-y2=c$，同样回到平方差的分解，和上面的推导殊途同归。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MushroomTea