找出所有整数 (a, b, c) 满足以下方程组：
\begin{align*}
a + b &= 1 - c, \
a^3 + b^3 &= 1 - c^2.
\end{align*}

我的解题思路（提问者） #

我目前的解题思路是这样的：
利用立方和公式展开第二个方程，得到 ((a + b)(a^2 - ab + b^2) = (1 - c)(1 + c))。
结合第一个方程 (a + b = 1 - c)，首先能得到一组解：当 (a + b = 0) 时，也就是 (1 - c = 0)，此时 (c = 1)，(a = k)，(b = -k)（其中 (k) 是任意整数），即解为 ((a,b,c)=(k,-k,1))，(k \in \mathbb{Z})。

不过当假设 (a + b \neq 0) 时，两边可以约掉 (1 - c)，得到 (a^2 - ab + b^2 = 1 + c)，到这一步我就不太清楚该怎么继续往下推导了，希望能得到后续的解题指导。

后续解题步骤与完整解 #

别担心，咱们接着往下推进。首先把第一个方程里的 (c = 1 - a - b) 代入到刚得到的 (a^2 - ab + b^2 = 1 + c) 中，这样就能把三个变量转化为两个变量来处理：

把 (c = 1 - a - b) 代入右边的式子：
[
a^2 - ab + b^2 = 1 + (1 - a - b)
]
整理右边后得到：
[
a^2 - ab + b^2 = 2 - a - b
]
将所有项移到左侧，整理成标准的二次型：
[
a^2 - ab + b^2 + a + b - 2 = 0
]

接下来我们可以把这个式子看作关于 (a) 的一元二次方程，利用判别式法来寻找整数解：
将式子改写为：
[
a^2 + (1 - b)a + (b^2 + b - 2) = 0
]
对于整数 (a) 来说，判别式必须是非负的完全平方数。计算判别式 (D)：
[
D = (1 - b)^2 - 4 \times 1 \times (b^2 + b - 2)
]
展开并化简：
[
D = 1 - 2b + b^2 - 4b^2 - 4b + 8 = -3b^2 -6b +9 = -3(b+3)(b-1)
]

因为 (D \geq 0)（判别式非负才能有实数解，何况是整数解），所以 (-3(b+3)(b-1) \geq 0)，即 ((b+3)(b-1) \leq 0)。解这个不等式，可得整数 (b) 的可能取值为：(b = -3, -2, -1, 0, 1)。

接下来我们逐个代入这些 (b) 的值，计算对应的整数 (a) 和 (c)：

• 当 (b = -3) 时，代入方程得 (a^2 + 4a + 4 = 0)，解得 (a = -2)，此时 (c = 1 - (-2) - (-3) = 6)，得到解 ((-2, -3, 6))
• 当 (b = -2) 时，方程变为 (a^2 + 3a = 0)，解得 (a = 0) 或 (a = -3)，对应 (c = 3) 或 (c = 6)，得到解 ((0, -2, 3)) 和 ((-3, -2, 6))
• 当 (b = -1) 时，方程变为 (a^2 + 2a - 2 = 0)，判别式 (D = 12)，不是完全平方数，无整数解
• 当 (b = 0) 时，方程变为 (a^2 + a - 2 = 0)，解得 (a = 1) 或 (a = -2)，对应 (c = 0) 或 (c = 3)，得到解 ((1, 0, 0)) 和 ((-2, 0, 3))
• 当 (b = 1) 时，方程变为 (a^2 = 0)，解得 (a = 0)，此时 (c = 0)，得到解 ((0, 1, 0))

由于原方程组中 (a) 和 (b) 是对称的，上述解中交换 (a) 和 (b) 的值也都是有效解（部分已经包含在上面的结果里了）。

最后把所有整数解汇总：

• 无限多组通解：((k, -k, 1))，其中 (k) 为任意整数
• 有限个特解：((1, 0, 0))、((0, 1, 0))、((-2, 0, 3))、((0, -2, 3))、((-3, -2, 6))、((-2, -3, 6))

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Peter