嘿，这个命题其实不成立哦，咱们直接用具体例子来验证就一目了然了。

先构造符合条件的矩阵：

• 取半正定矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ -1 & 1 \end{pmatrix}$，它的特征值是2和0，满足半正定的定义；
• 取对角元全为正的对角矩阵 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$，对角元1和2都是正数，符合要求。

反例1：$x'y > 0$ 但 $x'ABy < 0$ #

取向量 $x = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$，$y = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}$：

1. 计算内积：$x'y = 1 \times 1 + 0 \times 2 = 1 > 0$；
2. 先算乘积矩阵 $AB = \begin{pmatrix} 1 & -2 \ -1 & 2 \end{pmatrix}$；
3. 再计算 $x'ABy = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} = 1 \times 1 + (-2) \times 2 = -3 < 0$。

这直接打破了“$x'y > 0 \implies x'ABy \geq 0$”的结论。

反例2：$x'y < 0$ 但 $x'ABy > 0$ #

取向量 $x = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$，$y = \begin{pmatrix} 1 \ -3 \end{pmatrix}$：

1. 计算内积：$x'y = 2 \times 1 + 1 \times (-3) = -1 < 0$；
2. 同样用 $AB = \begin{pmatrix} 1 & -2 \ -1 & 2 \end{pmatrix}$；
3. 计算 $x'ABy = \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ -3 \end{pmatrix} = 1 \times 1 + (-2) \times (-3) = 7 > 0$。

这也推翻了“$x'y < 0 \implies x'ABy \leq 0$”的说法。

简单解释原因 #

半正定矩阵 $A$ 的核心性质是二次型非负（即对任意向量 $z$，$z'Az \geq 0$），但 $x'ABy$ 是双线性形式，不是二次型。它的符号不仅和 $x,y$ 的内积有关，还受 $A$ 的非对角元符号、$B$ 的缩放比例共同影响，所以两者之间没有必然的符号对应关系。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HXW