我来帮你梳理这个结论的一般性证明逻辑，咱们从基础概念到核心推理一步步来：

第一步：确认平方数的因数个数是奇数 #

对于任意正整数$n$，$n^{2$的正因数总数$\tau(n}2)$一定是奇数。原因很简单：正因数通常是成对出现的——如果$d$是$n^{2$的因数，那么$\frac{n}2}{d}$也必然是它的因数。但$n^{2$是平方数，存在一个特殊的因数$n$，它和自身配对（$\frac{n}2}{n}=n$），所以总因数个数会是奇数。

第二步：确定中位数的位置 #

当我们把$n^{2$的所有正因数按从小到大排列时，因为总个数是奇数$\tau(n}2)$，中位数的位置就是第$\frac{\tau(n^2)+1}{2}$位的数。

第三步：核心配对逻辑——因数的对称性 #

我们可以把$n^{2$的每个正因数$d$和$\frac{n}2}{d}$配对：

• 如果$d < n$，那么$\frac{n^2}{d} = n \times \frac{n}{d} > n$（因为$\frac{n}{d} > 1$）；
• 如果$d = n$，那么$\frac{n^2}{d} = n$，这是唯一的自配对因数；
• 如果$d > n$，那么$\frac{n^2}{d} < n$。

这就意味着：所有小于$n$的因数，都能找到一个唯一对应的大于$n$的因数，两者数量完全相等。

第四步：推导中位数就是$n$ #

假设小于$n$的因数有$k$个，那么大于$n$的因数也有$k$个，再加上中间的$n$，总因数个数就是$2k+1$。此时中位数的位置是$\frac{(2k+1)+1}{2}=k+1$位——正好就是$n$所在的位置，因为前面有$k$个小于$n$的因数，第$k+1$个就是$n$。

比如你提到的$n=4$的例子：
$4^2=16$的因数是$1,2,4,8,16$，小于4的因数有2个（1、2），大于4的也有2个（8、16），总个数$2\times2+1=5$，中位数位置是$\frac{5+1}{2}=3$，对应第3位的数就是4，完全符合结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math404