各位群论领域的同行们，我最近在研究一类特殊的阿贝尔群，遇到了一个困惑的问题，想请教大家的思路：

设$K$是$\mathbb{Z}^\mathbb{Z}$的子群，由所有满足像集有限的函数$f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$构成。请问$K$是自由阿贝尔群吗？

我的初步直觉是不是——毕竟$K$和著名的贝尔-斯佩克群$\mathbb{Z}^\mathbb{Z}$结构上很相似，而后者已经被证明不是自由阿贝尔群。但问题在于，我没法直接把贝尔-斯佩克群的证明方法套用到$K$上，不知道该怎么调整思路。

这里我补充两个关于$K$的关键信息，或许能帮大家打开思路：

• $K$还有另一种表示形式：它是由$\mathbb{Z}$的所有子集生成的阿贝尔群，满足两条关系：$\varnothing = 0$，以及对任意$A,B \subseteq \mathbb{Z}$，有$A + B = (A \cup B) + (A \cap B)$。在这个表示里，每个子集$A$对应的等价类，正好就是$K$中$A$的指示函数。
• 从对偶群的角度看，$\operatorname{Hom}(K,\mathbb{Z})$是$\mathbb{Z}$上带离散σ-代数的有限可加$\mathbb{Z}$值测度构成的群。我在猜想这个对偶群会不会是可数秩的自由阿贝尔群？如果这个猜想成立的话，应该就能直接推出$K$不是自由阿贝尔群了。

不管是对我的猜想的验证，还是新的证明方向，任何想法我都非常感激！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者diracdeltafunk