我现在需要解决这个非齐次微分方程的边值问题：
$(x+1)y''+y'=-1$
边界条件是 $y(0) = 0$ 和 $y'(1) = 0$。

有人提示我可以把这个常微分方程写成 $\frac{d}{dx}\left(r(x)\frac{dy}{dx}\right)$ 的形式，我已经算出 $r(x) = x+1$，但不知道接下来该怎么做。

我知道如果是常系数的二阶非齐次常微分方程（用待定系数法）或者欧拉形式的方程（令 $x = e^t$）该怎么解，但像这种形式的二阶常微分方程我不太清楚解法，求指点。

编辑：修正了笔误，把原方程里的y改成了y'

针对这个问题的解法思路 #

• 第一步：利用提示的形式简化方程
  你已经找对了方向！我们可以验证一下：$\frac{d}{dx}\left((x+1)\frac{dy}{dx}\right) = (x+1)y'' + \frac{d}{dx}(x+1)\cdot y'$，展开后刚好就是原方程的左边 $(x+1)y'' + y'$，所以原方程可以直接改写为：
  $\frac{d}{dx}\left((x+1)y'\right) = -1$

• 第二步：第一次积分降阶
  现在方程变成了一阶微分方程的形式，直接对两边关于x积分即可：
  $\int \frac{d}{dx}\left((x+1)y'\right)dx = \int -1 dx$
  左边积分后得到 $(x+1)y'$，右边积分结果是 $-x + C_1$（$C_1$ 是积分常数），于是得到：
  $(x+1)y' = -x + C_1$

• 第三步：求解一阶微分方程
  先整理出 $y'$ 的表达式：
  $y' = \frac{-x + C_1}{x+1}$
  为了方便积分，我们把右边的分式拆分变形：
  $\frac{-x + C_1}{x+1} = \frac{-(x+1) + 1 + C_1}{x+1} = -1 + \frac{C_1 + 1}{x+1}$
  现在对两边积分求y：
  $y = \int \left(-1 + \frac{C_1 + 1}{x+1}\right)dx = -x + (C_1 + 1)\ln|x+1| + C_2$（$C_2$ 是第二个积分常数）

• 第四步：利用边界条件确定常数
  首先代入第一个边界条件 $y(0) = 0$：
  把x=0，y=0代入y的表达式：
  $0 = -0 + (C_1 + 1)\ln(0+1) + C_2$
  因为 $\ln1=0$，所以直接得出 $C_2 = 0$。

接着代入第二个边界条件 $y'(1) = 0$：
把x=1，y'=0代入 $y' = \frac{-x + C_1}{x+1}$：
$0 = \frac{-1 + C_1}{1+1}$
分母2≠0，所以分子必须为0，解得 $C_1 = 1$。

• 第五步：得到最终解
  把 $C_1=1$ 和 $C_2=0$ 代入y的表达式，再结合x的范围（0到1，x+1始终为正，可去掉绝对值），最终解为：
  $y = -x + 2\ln(x+1)$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bill Cogn