嘿，这个问题其实可以用广义二项式定理来轻松解决，咱们一步步拆解来看：

首先，你注意到级数里的那个系数 $\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}$ 了吗？这其实是广义二项式系数，通常记作 $\binom{a}{n}$，它是普通二项式系数在实数域上的扩展。

而广义二项式定理告诉我们：对于任意实数 $a$ 和满足 $|x| < 1$ 的实数 $x$，有以下展开式：
$$(1+x)^a = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{a}{n}x^n$$

现在回头看你的级数：
$$1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}\frac{1}{2^{n}}$$
这其实就是上面展开式从 $n=0$ 到 $\infty$ 的求和（当 $n=0$ 时，项就是1），这里的 $x$ 正好是 $\frac{1}{2}$，而且 $|\frac{1}{2}| < 1$，完全符合定理的适用条件。

当 $a = \frac{1}{3}$ 时，代入进去就能得到：
$$(1 + \frac{1}{2})^{\frac{1}{3}} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}$$
如果需要有理化形式的话，也可以写成 $\frac{\sqrt[3]{12}}{2}$，两种表达都是正确的。

之前你想用地几何级数行不通，是因为几何级数是单纯的幂次求和，而这个级数带有广义二项式系数，属于二项式展开的范畴，所以换用广义二项式定理就刚好匹配啦~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nofretete