咱们先把问题背景和核心需求理清楚：
设$D \subseteq \mathbb{R}^{2}$是单连通区域，$f, g: D \longrightarrow \mathbb{R}$是连续可微函数，且对所有$(x, y) \in D$满足$\frac{\frac{\partial g}{\partial y} - \frac{\partial h}{\partial x}}{h(x,y)} = f(x)$。我们要完成两个任务：一是证明$\mu(x):=\exp\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)$是积分因子；二是探究存在仅依赖y的积分因子的条件，以及这个积分因子的形式。

首先回忆积分因子的核心定义：

对于一阶常微分方程$p(x,y) + q(x,y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$，若它不满足恰当性条件$\frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial q}{\partial x}$，则在一定正则条件下，存在非零连续可微函数$\mu(x,y)$，使得$\mu(x,y)p(x,y) + \mu(x,y)q(x,y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$成为恰当微分方程（即满足$\frac{\partial(\mu p)}{\partial y} = \frac{\partial(\mu q)}{\partial x}$）。

一、证明$\mu(x):=\exp\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)$是积分因子 #

我们从恰当方程的判定条件入手，要验证$\mu(x)$满足$\frac{\partial(\mu g)}{\partial y} = \frac{\partial(\mu h)}{\partial x}$。

1. 用乘积法则展开等式两边：

   • 左边：$\mu \frac{\partial g}{\partial y} + g \frac{\partial \mu}{\partial y}$
   • 右边：$\mu \frac{\partial h}{\partial x} + h \frac{\partial \mu}{\partial x}$

2. 因为$\mu$仅依赖x，所以$\frac{\partial \mu}{\partial y}=0$，代入后整理等式：
   $$\mu \frac{\partial g}{\partial y} = \mu \frac{\partial h}{\partial x} + h \frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}x}$$

3. 两边除以非零的$\mu$，移项得到：
   $$\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial g}{\partial y} - \frac{\partial h}{\partial x}}{h(x,y)}$$

4. 结合题目给出的条件$\frac{\frac{\partial g}{\partial y} - \frac{\partial h}{\partial x}}{h(x,y)} = f(x)$，可得：
   $$\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}x}=f(x)$$

5. 注意到$\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log|\mu(x)|$，对两边积分：
   $$\log|\mu(x)| = \int f(x)\mathrm{d}x + C$$
   取积分常数$C=0$，并去掉绝对值（指数函数恒正，无需考虑负分支），就得到$\mu(x)=\exp\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)$，这就证明了它确实是原方程的积分因子。

二、仅依赖y的积分因子的存在条件与形式 #

同样从恰当方程的判定条件出发，假设存在仅依赖y的积分因子$\mu(y)$，此时$\frac{\partial \mu}{\partial x}=0$。

1. 展开恰当性条件$\frac{\partial(\mu g)}{\partial y} = \frac{\partial(\mu h)}{\partial x}$：

   • 左边：$\mu \frac{\partial g}{\partial y} + g \frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}y}$
   • 右边：$\mu \frac{\partial h}{\partial x} + h \cdot 0 = \mu \frac{\partial h}{\partial x}$

2. 整理等式，两边除以非零的$\mu$：
   $$\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}y} = \frac{\frac{\partial h}{\partial x} - \frac{\partial g}{\partial y}}{g(x,y)}$$

3. 分析等式左右两边：左边是仅依赖y的函数（因为$\mu$只依赖y），所以右边的表达式必须不包含x，仅为y的函数，这就是存在仅依赖y的积分因子的充要条件。

4. 若满足上述条件，记$\frac{\frac{\partial h}{\partial x} - \frac{\partial g}{\partial y}}{g(x,y)} = k(y)$（$k(y)$仅为y的函数），则：
   $$\frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}y}=k(y)$$
   对两边积分，可得积分因子的形式：
   $$\mu(y)=\exp\left(\int k(y)\mathrm{d}y\right)=\exp\left(\int \frac{\frac{\partial h}{\partial x} - \frac{\partial g}{\partial y}}{g(x,y)}\mathrm{d}y\right)$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Euler007