嘿，我来帮你理清这两个卷积相关的性质，顺便解答你最后的疑问：

一、Lᵖ空间中的卷积有界性结论 #

首先是你给出的这个已有的结论：

如果 $u$ 是可积函数（即 $u \in L^1(\mathbb{R})$），$v \in L^p(\mathbb{R})$（其中 $1 \leq p \leq \infty$），那么它们的卷积 $u*v \in L^p(\mathbb{R})$

这其实是Young卷积不等式的一个经典特例，核心逻辑是利用Hölder不等式来估计卷积的$L^{p$范数，从而证明卷积后的函数依然属于$L}p(\mathbb{R})$。你提到的《Adapted Wavelet Analysis》（Wickerhauser著）里应该有详细的推导过程，可以参考一下。

二、Schwartz函数与L²函数卷积的性质疑问 #

接下来是你提出的问题：如果 $u$ 是Schwartz函数，$v \in L^2(\mathbb{R})$，那么 $u*v$ 是Schwartz函数吗？

答案是肯定的，这里提供两个直观的理解角度：

• 傅里叶变换视角：Schwartz函数的傅里叶变换仍然是Schwartz函数，而$L^{2$函数的傅里叶变换也属于$L}2(\mathbb{R})$。根据卷积的傅里叶变换性质，$\mathcal{F}(u*v) = \mathcal{F}(u) \cdot \mathcal{F}(v)$——Schwartz函数（速降）和$L^{2$函数的乘积不仅是$L}2$函数，还具备速降的衰减特性，对这个乘积做逆傅里叶变换后，得到的结果自然也是Schwartz函数。
• 直接估计视角：Schwartz函数$u$本身及其任意阶导数都是速降的，结合$v \in L^2$在紧集上的可积性，我们可以直接估计$u*v$及其各阶导数的衰减速度，会发现它们都满足Schwartz函数的定义——任意阶导数的衰减速度都比任意多项式更快。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者roly