嘿，我太懂你这种“机械操作了好几年，突然想搞懂背后逻辑”的感觉了！分离变量法用多了确实容易变成肌肉记忆，咱们把你疑惑的两个核心点拆解得明明白白～

一、特征方程到底是怎么来的？这个过程叫什么？ #

当你假设$u(x,t)=X(x)T(t)$代入PDE后，得到了关于$X(x)$的常微分方程：$X'' + \lambda X = 0$。这是一个二阶线性常系数齐次常微分方程，求解这类方程的标准方法就是特征方程法（Characteristic Equation Method），步骤其实非常直观：

1. 假设解的形式：对于线性常系数齐次ODE，我们通常假设解是指数函数$X(x)=e^{rx}$——因为指数函数求导后还是自身的倍数，刚好适配线性方程的结构。
2. 代入方程推导特征方程：对$X(x)$求二阶导得$X''=r^2e{rx}$，代入$X''+\lambda X=0$后得到：
   $$r^2e{rx} + \lambda e^{rx} = 0$$
   由于$e^{rx}$永远不会等于0，我们可以直接两边约掉它，得到特征方程：
   $$r^2 + \lambda = 0$$
3. 根据特征根的类型得到解：解这个二次方程时，$\lambda$的正负会决定根的性质：
   • 当$\lambda>0$时，令$\lambda=\omega^2$，特征方程的根是$r=\pm i\omega$（虚数根）。利用欧拉公式$e^{i\omega x}=\cos\omega x + i\sin\omega x$，我们可以把复数解转化为实函数形式，也就是你熟悉的$X(x)=A\cos\omega x + B\sin\omega x$。
   • 当$\lambda<0$时，令$\lambda=-\omega^{2$，特征方程的根是$r=\pm\omega$（实数根），所以解就是两个指数函数的线性组合$X(x)=Ae}{\omega x} + Be^{-\omega x}$。

另外还要结合你的边界条件$u(0,t)=u(\pi,t)=0$（也就是$X(0)=0$、$X(\pi)=0$）：如果取$\lambda<0$的情况，代入边界条件会发现只有零解（$A=B=0$），没有实际物理意义，所以我们只保留$\lambda>0$的情况，也就是特征值$\lambda=n^2$（$n=1,2,3,\dots$），对应的特征函数是$X_n(x)=\sin(nx)$（因为$X(0)=0$会让系数$A=0$，而$\sin(n\pi)=0$刚好满足$X(\pi)=0$）。

二、带t系数的$T(t)$方程怎么解？ #

你遇到的$T'(t) + \frac{\omega^2}{t}T(t)=0$是一个一阶线性齐次常微分方程，用分离变量法就能轻松解决，步骤如下：

1. 分离变量：把含$T$的项和含$t$的项移到等式两边：
   $$\frac{dT}{T} = -\frac{\omega^2}{t}dt$$
2. 两边积分：对左右两边分别积分，左边积分结果是$\ln|T|$，右边是$-\omega^2\ln|t| + C$（$C$是积分常数）：
   $$\ln|T| = -\omega^2\ln|t| + C$$
3. 整理得到解：把对数项合并，再取指数消去对数：
   $$\ln|T| = \ln\left|t^{-\omega2}\right| + C$$
   取指数后得到$T(t)=K t^{-\omega2}$，其中$K$是由初始条件确定的常数（$K=e^C$）。

结合你的问题，$\omega=n$，所以$T_n(t)=K_n t^{-n2}$。代入初始条件$u(x,1)=\sin x + 2\sin3x$，当$t=1$时$t^{-n2}=1$，所以$\sum K_n\sin(nx)=\sin x + 2\sin3x$，对比系数就能得到$K_1=1$、$K_3=2$，其他$K_n=0$。最终的解就是：
$$u(x,t)=t^{-1}\sin x + 2t^{-9}\sin3x$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zeeko