He gives us a method to compute integrals in spherical coordinates in $n$ dimensions, via the conversion
$$\int_{\mathbb{R}^n} f dx = \int_0^\infty \left(\int_{\partial B(x_0,r)} f dS\right) dr$$
for any selected point $x_0$.

It seems silly to ask, but I am confused as to what the interior integral means. There is no explanation as to how such an integral is computed. I vaguely remember something of the sort from my multivariable calculus courses, years ago, but the details are foggy and looking at resources online is confusing me more because examples online always give a particular surface S and only then write dS.

What is meant here?

嘿，完全懂你的困惑——n维空间里的曲面积分确实比三维的抽象太多，尤其是教材直接甩公式不展开细节的时候，很容易摸不着头脑！我来一步步给你拆解清楚：

1. 先搞懂符号的含义 #

首先，$\partial B(x_0,r)$ 指的是以$x_0$为球心、半径$r$的$n$维球面——它是$n$维闭球的边界，维度是$n-1$维的：比如二维里是1维的圆周，三维里是2维的球面，四维里就是3维的“超球面”。

而$dS$是这个$n-1$维球面上的标准曲面测度（也叫球面面积元），本质上就是用来在这个低维球面上“测量面积/体积”的工具，和你在三维微积分里学的曲面面积元$dS$是一个道理，只是推广到了更高维的空间。

2. 如何计算这个内部积分？ #

核心思路是参数化球面，把曲面积分转化为参数空间上的多重积分，这和你学过的三维曲面积分计算逻辑完全一致，只是参数的数量变多了：

从低维到高维的例子

• 二维（$n=2$）：$\partial B(x_0,r)$是圆周，用角度$\theta \in [0,2\pi)$参数化，坐标为$x = x_0 + r(\cos\theta, \sin\theta)$。这时候$dS$就是圆周的弧长元$r d\theta$，积分就变成：
  $$\int_{\partial B(x_0,r)} f dS = \int_0^{2\pi} f(x_0 + r(\cos\theta, \sin\theta)) \cdot r d\theta$$
• 三维（$n=3$）：$\partial B(x_0,r)$是球面，用$\theta \in [0,\pi)$和$\phi \in [0,2\pi)$参数化，坐标为$x = x_0 + r(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$。这时候$dS$是$r^2 \sin\theta d\theta d\phi$，积分就是：
  $$\int_{\partial B(x_0,r)} f dS = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi f(x_0 + r(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)) \cdot r^2 \sin\theta d\theta d\phi$$

推广到$n$维的通用方法

对于任意$n$维空间，我们可以用$n-1$个角度参数来描述单位球面$S^{{n-1}$（所有模长为1的$n$维向量构成的集合）。假设$\omega$是$S}{n-1}$上的点，那么$\partial B(x_0,r)$上的任意点都可以写成$x_0 + r\omega$。

这时候，$n$维球面的面积元$dS$可以表示为$r^{n-1} d\omega$，其中$d\omega$是单位球面$S^{n-1}$上的标准测度（也就是单位球面上的“面积元”）。因此，内部积分可以改写为：
$$\int_{\partial B(x_0,r)} f dS = r^{n-1} \int_{S^{n-1}} f(x_0 + r\omega) d\omega$$

如果$f$是径向函数（也就是$f(x)$只和$x$到$x_0$的距离有关，比如$f(x)=g(|x - x_0|)$），那这个积分会更简单：因为$f$在整个球面上的取值都是$g(r)$，所以积分就等于$g(r)$乘以$n$维球面的表面积，即：
$$\int_{\partial B(x_0,r)} f dS = g(r) \cdot \omega_{n-1} r^{n-1}$$
这里$\omega_{n-1}$是$n-1$维单位球面的表面积（比如$\omega_1=2\pi$对应二维圆周的周长，$\omega_2=4\pi$对应三维球面的面积）。

3. 为什么网上的例子都是特定曲面？ #

网上的例子大多集中在三维及以下，是因为这些维度的曲面可以可视化，更容易讲清楚参数化和面积元的推导。但$n$维的本质逻辑和低维完全一致：都是把低维曲面用参数表示，然后计算参数化对应的雅可比行列式，得到曲面积分的积分元$dS$。

希望这些解释能帮你理清思路！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Steven Cripe