嘿，这个问题可以通过函数变形、单调性分析+介值定理来解决，完全不用碰Lambert W函数，咱们一步步来理清楚：

首先要注意，因为$\log x$有意义，所以x必须是正实数，咱们只考虑$x>0$的情况。

第一步：简化不等式 #

原不等式两边都是正数（x>0时，$\sqrt{x}$正，$x(\log x)^2$也正），所以可以两边除以$\sqrt{x}$，不等号方向不变，得到等价的不等式：
$$\sqrt{x} (\log x)^2 > 1$$

我们令$f(x) = \sqrt{x} (\log x)^2$，现在问题转化为：证明存在某个区间，使得$f(x) > 1$成立。

第二步：找一个f(x) > 1的点 #

先算一个具体的点，比如$x=e^{-4}$（这个点选出来是因为能让$\log x$变成整数，方便计算）：
$$f(e^{-4}) = \sqrt{e^{-4}} \cdot (\log e^{-4})2 = e^{-2} \cdot (-4)^2 = \frac{16}{e^2} \approx 2.16 > 1$$
这说明在$x=e^{-4}$处，原不等式是成立的。

第三步：分析f(x)在x→0+时的极限 #

当x趋近于0+时，$\sqrt{x}$趋近于0，$(\log x)^2$趋近于+∞，这是0×∞型的极限，我们用洛必达法则来计算：
$$\lim_{x→0+} f(x) = \lim_{x→0+} \frac{(\log x)^2}{x{-1/2}}$$
第一次洛必达：分子导数是$2\log x \cdot \frac{1}{x}$，分母导数是$-\frac{1}{2}x^{-3/2}$，代入后得到：
$$\lim_{x→0+} \frac{2\log x / x}{-1/2 x^{-3/2}} = \lim_{x→0+} -4 \log x \cdot x^{1/2}$$
这还是0×∞型，再用一次洛必达，转化为：
$$\lim_{x→0+} -4 \frac{\log x}{x^{-1/2}} = \lim_{x→0+} -4 \cdot \frac{1/x}{-1/2 x^{-3/2}} = \lim_{x→0+} 8x^{1/2} = 0$$
这说明当x足够接近0+时，$f(x) < 1$，也就是原不等式不成立。

第四步：用介值定理找分界点λ #

因为$f(x)$在$(0, +∞)$上是连续的（$\sqrt{x}$和$(\log x)^2$在x>0时都连续），且$\lim_{x→0+}f(x)=0 < 1$，$f(e^{-4})>1$，根据介值定理，必然存在某个$\lambda \in (0, e^{-4})$，使得$f(\lambda)=1$。

第五步：分析单调性确定区间 #

对$f(x)$求导，判断它的单调性：
$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x} (\log x)^2\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(\log x)^2 + \sqrt{x} \cdot 2\log x \cdot \frac{1}{x}$$
整理一下：
$$f'(x) = \frac{(\log x)^2 + 4\log x}{2\sqrt{x}} = \frac{\log x (\log x + 4)}{2\sqrt{x}}$$
当$0 < x < e^{-4}$时，$\log x < -4$，所以$\log x$和$\log x + 4$都是负数，它们的乘积是正数，因此$f'(x) > 0$，也就是$f(x)$在$(0, e^{-4})$上单调递增。

这就意味着：当$x \in (\lambda, e^{-4}]$时，$f(x) > 1$，原不等式$x(\log x)^2 > \sqrt{x}$成立（x=λ时等号成立）。

哦对了，这里要纠正一下：原问题里说的区间$[0,\lambda]$其实是不成立的，因为当x∈(0,λ)时$f(x)<1$，原不等式不成立；真正成立的区间是$(\lambda, e^{-4}]$，可能是提问时的笔误~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Noppawee Apichonpongpan