没问题！我来一步步给你讲清楚怎么求这个k，再给你个简单的小例子帮你理解～

首先，核心思路是这样的：

• 第一步，你得先明确函数$f(x)$的具体形式（比如它的定义域、分段表达式、取值范围），这是求解的基础；
• 第二步，根据$f(x)$的取值区间，划分$k$可能的范围：比如当$k$大于$f(x)$的最大值时，积分区域是空集，积分结果为0；当$k$小于$f(x)$的最小值时，积分就是$f(x)$在整个定义域上的积分；而当$k$处于$f(x)$的取值范围内时，积分区域是所有满足$f(x)>k$的$x$集合，这时候需要把积分转化为对应区间的定积分（以一维函数为例）；
• 第三步，根据给定的常数$c$，判断$c$落在哪个积分结果的区间里，再对应写出积分表达式，解方程求出$k$。

接下来给你一个直观的玩具例子：
假设我们取一个简单的分段函数$f(x)$：
$$f(x)=\begin{cases}
x, & x\in[0,2] \
0, & \text{其他}
\end{cases}$$
先算一下$f(x)$的整体积分：$\int_{-\infty}^{{+\infty}f(x)dx=\int_{0}}{2}x dx=2$，这是当$k\leq0$时的积分结果；而当$k\geq2$时，$f(x)>k$的区域是空集，积分结果为0。

现在假设给定的常数$c=1$，显然$0<1<2$，所以$k$一定在$(0,2)$这个区间里。这时候积分区域是${x:f(x)>k}=(k,2)$，积分表达式就变成：
$$\int_{k}^{2}x dx = c=1$$
计算左边的积分：$\int_{k}^{2}x dx = \left.\frac{1}{2}x^2\right|_{k}{2}=2 - \frac{1}{2}k^2$
然后解方程：$2 - \frac{1}{2}k^2=1$
移项得：$\frac{1}{2}k^2=1 \implies k^2=2 \implies k=\sqrt{2}$（因为$k$在$(0,2)$里，所以取正根）

这样就求出了满足条件的$k$值啦。如果换一个$c$，比如$c=1.5$，代入方程$2 - \frac{1}{2}k^2=1.5$，就能解得$k=1$，同样符合区间要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user149054