咱们来探讨这个有意思的分析问题：假设给定闭区间$[a,b]$上的严格凹函数$g$，为了让问题不显得平凡，我们额外限定$g$是解析函数但不是多项式。我们想搞清楚：次数至多为$n$的多项式，最多能和$g$“相切”多少次——这里的“相切”指的是只接触不交叉，也就是多项式全程都在$g$的下方，仅在某些点上两者取值相等。

问题的正式定义 #

先把问题用严谨的数学语言明确下来：

• 记$P_n(g)$为所有满足$p_n(t) \le g(t)$对任意$t \in [a,b]$成立的次数至多为$n$的多项式集合。
• 对每个$p_n \in P_n(g)$，定义接触点集合：
  $$
  S(p_n) = { x \in [a,b]: g(x) = p_n(x) }
  $$
• 我们要找的是所有这类多项式中，接触点集合的最大元素个数，也就是：
  $$
  K(n,g) = \sup_{p_n \in P_n(g)} |S(p_n)|
  $$
  这里$|\cdot|$表示集合的基数（元素个数）。

我的初步思路与粗略计算 #

我自己先梳理了一下，给出一个初步的估算方向：

• 首先，我们可以让多项式先在区间的两个端点$a$和$b$处与$g$接触，这就已经占了2个接触点。
• 此时多项式还剩下$n-2$个自由度。接下来，因为$g$是严格凹的，多项式要始终在$g$下方，只有在自身的极大值点处才有可能追上$g$（毕竟极小值点处多项式会更低，不可能和$g$相等）。而每个这样的极大值点，大概需要消耗2个自由度来调整多项式的形状，使其在该点与$g$接触同时保持整体在下方。
• 这么算下来，最多还能安排$\frac{n-2}{2}$个这样的极大值接触点。

把端点的2个点加进来，总共的接触次数上限大概是$\frac{n-2}{2} + 2 = \frac{n+2}{2}$次。

现在的核心问题是：我们能不能找到$K(n,g)$关于$n$的严格上界？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Boby